Câu 11.
Để tìm khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm phương trình mặt phẳng :
- Ta có ba điểm , , và .
- Vector .
- Vector .
Mặt phẳng có phương trình dạng . Ta tìm các hệ số , , và bằng cách sử dụng các điểm trên.
Vector pháp tuyến của mặt phẳng là :
Phương trình mặt phẳng là:
Thay tọa độ của điểm vào phương trình để tìm :
Vậy phương trình mặt phẳng là:
2. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng :
- Công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:
Thay , , , , và vào công thức:
Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng là .
Đáp án đúng là: .
Câu 12.
Để tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC), ta cần tính vectơ pháp tuyến của hai vectơ và .
Bước 1: Tính vectơ và :
Bước 2: Tính tích có hướng của hai vectơ và để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC):
Tích có hướng của hai vectơ và được tính theo công thức:
Áp dụng vào bài toán:
Bước 3: So sánh với các lựa chọn đã cho:
Ta thấy rằng vectơ pháp tuyến trùng khớp với lựa chọn A.
Vậy đáp án đúng là:
Câu 13.
Để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng , ta cần xem xét phương trình tham số của đường thẳng này. Phương trình tham số của đường thẳng được cho là:
Từ phương trình tham số trên, ta thấy rằng mỗi thành phần của tọa độ điểm trên đường thẳng phụ thuộc vào tham số . Cụ thể:
-
-
-
Vectơ chỉ phương của đường thẳng sẽ là vectơ có các thành phần tương ứng với các hệ số của trong phương trình tham số. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng là:
So sánh với các lựa chọn đã cho:
-
-
-
-
Ta thấy rằng vectơ chỉ phương của đường thẳng là .
Vậy đáp án đúng là:
Câu 14.
Để kiểm tra xem điểm nào thuộc đường thẳng , ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình tham số của đường thẳng và kiểm tra xem có tồn tại giá trị của tham số sao cho các phương trình đều đúng.
A. Với điểm :
- Thay vào phương trình :
- Thay vào phương trình : (sai)
- Do đó, điểm không thuộc đường thẳng .
B. Với điểm :
- Thay vào phương trình :
- Thay vào phương trình : (đúng)
- Thay vào phương trình : (đúng)
- Do đó, điểm thuộc đường thẳng .
C. Với điểm :
- Thay vào phương trình :
- Thay vào phương trình : (sai)
- Do đó, điểm không thuộc đường thẳng .
D. Với điểm :
- Thay vào phương trình :
- Thay vào phương trình : (đúng)
- Thay vào phương trình : (sai)
- Do đó, điểm không thuộc đường thẳng .
Kết luận: Điểm thuộc đường thẳng là .
Đáp án: B. .
Câu 15.
Để xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng và , ta cần kiểm tra các điều kiện về song song, chéo nhau, trùng nhau hoặc cắt nhau.
Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng
- Đường thẳng có phương trình tham số:
Vectơ chỉ phương của là .
- Đường thẳng có phương trình:
Vectơ chỉ phương của là .
Bước 2: Kiểm tra điều kiện song song
Hai đường thẳng song song nếu vectơ chỉ phương của chúng cùng phương, tức là tồn tại số thực sao cho .
Ta thấy:
Không tồn tại thỏa mãn điều kiện trên, do đó hai đường thẳng không song song.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện trùng nhau
Hai đường thẳng trùng nhau nếu vectơ chỉ phương của chúng cùng phương và điểm thuộc một đường thẳng cũng thuộc đường thẳng còn lại.
Ta thấy:
Do đó, hai đường thẳng không trùng nhau.
Bước 4: Kiểm tra điều kiện cắt nhau
Hai đường thẳng cắt nhau nếu có điểm chung. Ta giả sử hai đường thẳng cắt nhau tại điểm . Thay vào phương trình của cả hai đường thẳng:
Từ :
Từ :
Thay vào phương trình của :
Thay vào phương trình của :
Kiểm tra lại với phương trình của :
Cả hai phương trình đều thỏa mãn với , do đó hai đường thẳng cắt nhau tại điểm .
Kết luận
Đáp án đúng là: D. d, d cắt nhau.
Câu 16.
Để tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm và , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm vector chỉ phương của đường thẳng:
Vector chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm và là:
2. Lập phương trình tham số của đường thẳng:
Đường thẳng đi qua điểm và có vector chỉ phương có phương trình tham số là:
Điều này tương đương với:
Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm và là:
Đáp án đúng là: B.
Câu 17.
Để tìm góc giữa hai mặt phẳng và , ta cần tìm góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng.
1. Tìm vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng:
- Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
- Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
2. Tính tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến:
3. Tính độ dài của mỗi vectơ pháp tuyến:
4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến:
5. Tìm góc :
Vậy góc giữa hai mặt phẳng và là . Đáp án đúng là: