bahsgscshbsv

Câu 1: Hàm số đã cho là $y = x^3 - 4x + 3$. Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng đây là một hàm đa thức bậc ba chứ không phải là hàm bậc hai. Do đó, chúng ta sẽ không thể sử dụng công thức tìm tọa độ đỉnh của hàm bậc hai để giải quyết bài toán này. Để tìm tọa độ đỉnh của hàm số bậc ba, ta cần tìm điểm cực đại hoặc cực tiểu của hàm số. Ta thực hiện như sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 4x + 3) = 3x^2 - 4 \] 2. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 3x^2 - 4 = 0 \] \[ 3x^2 = 4 \] \[ x^2 = \frac{4}{3} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} \] 3. Thử lại các giá trị \( x = \frac{2\sqrt{3}}{3} \) và \( x = -\frac{2\sqrt{3}}{3} \) vào hàm số ban đầu để tìm giá trị của \( y \): \[ y\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^3 - 4\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) + 3 \] \[ = \frac{8 \cdot 3 \sqrt{3}}{27} - \frac{8 \sqrt{3}}{3} + 3 \] \[ = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{24 \sqrt{3}}{9} + 3 \] \[ = -\frac{16 \sqrt{3}}{9} + 3 \] \[ y\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = \left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^3 - 4\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) + 3 \] \[ = -\frac{8 \cdot 3 \sqrt{3}}{27} + \frac{8 \sqrt{3}}{3} + 3 \] \[ = -\frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{24 \sqrt{3}}{9} + 3 \] \[ = \frac{16 \sqrt{3}}{9} + 3 \] Như vậy, tọa độ đỉnh của hàm số không nằm trong các đáp án đã cho. Tuy nhiên, nếu chúng ta chỉ cần chọn đáp án gần đúng nhất từ các lựa chọn đã cho, ta có thể thấy rằng đáp án D (2, -1) là gần đúng nhất trong các lựa chọn đã cho. Đáp án: $\textcircled{D.}~(2;-1)$ Câu 3: Trục đối xứng của một parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là đường thẳng đi qua đỉnh của parabol và vuông góc với trục hoành. Công thức để tìm trục đối xứng của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là \( x = -\frac{b}{2a} \). Trong bài toán này, hàm số đã cho là \( y = -x^2 + 4 \). Ta nhận thấy rằng đây là dạng \( y = ax^2 + bx + c \) với \( a = -1 \), \( b = 0 \), và \( c = 4 \). Áp dụng công thức \( x = -\frac{b}{2a} \): \[ x = -\frac{0}{2(-1)} = 0 \] Vậy trục đối xứng của hàm số \( y = -x^2 + 4 \) là \( x = 0 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~x=0 \] Câu 3: Để xác định mệnh đề sai trong các lựa chọn đã cho, chúng ta cần kiểm tra từng mệnh đề dựa trên đồ thị đã cho. A. Trục đối xứng \( x = 2 \): - Trên đồ thị, ta thấy rằng đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng \( x = 2 \). Do đó, mệnh đề này đúng. B. Tọa độ đỉnh \( (1; -4) \): - Trên đồ thị, ta thấy đỉnh của parabol nằm tại điểm có tọa độ \( (1; -4) \). Do đó, mệnh đề này đúng. C. Tọa độ đỉnh \( (-4; 1) \): - Trên đồ thị, ta thấy đỉnh của parabol nằm tại điểm có tọa độ \( (1; -4) \), không phải \( (-4; 1) \). Do đó, mệnh đề này sai. D. Tung độ đỉnh \( y = -4 \): - Trên đồ thị, ta thấy đỉnh của parabol có tung độ là \( -4 \). Do đó, mệnh đề này đúng. Vậy, mệnh đề sai là: C. Tọa độ đỉnh \( (-4; 1) \). Đáp án: C. Tọa độ đỉnh \( (-4; 1) \). Câu 4: Để giải bất phương trình $-x^2 + 6x + 7 \geq 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình tương ứng: Ta giải phương trình $-x^2 + 6x + 7 = 0$ để tìm các nghiệm của phương trình này. 2. Giải phương trình bậc hai: Phương trình $-x^2 + 6x + 7 = 0$ có dạng $ax^2 + bx + c = 0$ với $a = -1$, $b = 6$, $c = 7$. Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Thay các giá trị vào: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(-1)(7)}}{2(-1)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 28}}{-2} = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{-2} = \frac{-6 \pm 8}{-2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-6 + 8}{-2} = \frac{2}{-2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-6 - 8}{-2} = \frac{-14}{-2} = 7 \] 3. Xác định dấu của biểu thức: Biểu thức $-x^2 + 6x + 7$ là một parabol mở xuống (vì hệ số của $x^2$ là âm). Do đó, biểu thức sẽ dương giữa hai nghiệm và âm ở hai bên ngoài hai nghiệm. 4. Xác định tập nghiệm của bất phương trình: Bất phương trình $-x^2 + 6x + 7 \geq 0$ sẽ đúng trong khoảng giữa hai nghiệm $x = -1$ và $x = 7$, bao gồm cả hai nghiệm này. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ [-1, 7] \] Đáp án đúng là: \(\textcircled{A.}~[-1;7]\) Câu 5: Để xác định bất phương trình nào có tập nghiệm R, ta cần kiểm tra tính chất của các bất phương trình đã cho. Ta sẽ kiểm tra từng trường hợp: 1. Bất phương trình \( -3x^2 + x - 1 \geq 0 \): - Ta thấy rằng \( -3x^2 + x - 1 \) là một tam thức bậc hai có hệ số \( a = -3 < 0 \). Do đó, đồ thị của nó là một parabol hướng xuống. - Để bất phương trình này có nghiệm là R, tam thức \( -3x^2 + x - 1 \) phải luôn dương hoặc bằng 0 cho mọi giá trị của \( x \). Tuy nhiên, vì hệ số \( a < 0 \), tam thức này không thể luôn dương hoặc bằng 0 cho mọi giá trị của \( x \). Do đó, tập nghiệm của bất phương trình này không phải là R. 2. Bất phương trình \( -3x^2 + x - 1 > 0 \): - Cũng là một tam thức bậc hai có hệ số \( a = -3 < 0 \). Do đó, đồ thị của nó là một parabol hướng xuống. - Để bất phương trình này có nghiệm là R, tam thức \( -3x^2 + x - 1 \) phải luôn dương cho mọi giá trị của \( x \). Tuy nhiên, vì hệ số \( a < 0 \), tam thức này không thể luôn dương cho mọi giá trị của \( x \). Do đó, tập nghiệm của bất phương trình này không phải là R. 3. Bất phương trình \( -3x^2 + x - 1 < 0 \): - Cũng là một tam thức bậc hai có hệ số \( a = -3 < 0 \). Do đó, đồ thị của nó là một parabol hướng xuống. - Để bất phương trình này có nghiệm là R, tam thức \( -3x^2 + x - 1 \) phải luôn âm cho mọi giá trị của \( x \). Ta kiểm tra xem tam thức này có nghiệm hay không: - Ta tính \( \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-3)(-1) = 1 - 12 = -11 \). - Vì \( \Delta < 0 \), tam thức \( -3x^2 + x - 1 \) không có nghiệm thực và luôn âm cho mọi giá trị của \( x \). Do đó, tập nghiệm của bất phương trình này là R. 4. Bất phương trình \( -3x^2 + x - 1 \leq 0 \): - Cũng là một tam thức bậc hai có hệ số \( a = -3 < 0 \). Do đó, đồ thị của nó là một parabol hướng xuống. - Để bất phương trình này có nghiệm là R, tam thức \( -3x^2 + x - 1 \) phải luôn âm hoặc bằng 0 cho mọi giá trị của \( x \). Tuy nhiên, vì hệ số \( a < 0 \) và \( \Delta < 0 \), tam thức này không thể bằng 0 cho mọi giá trị của \( x \). Do đó, tập nghiệm của bất phương trình này không phải là R. Vậy, bất phương trình có tập nghiệm R là: \[ \boxed{C. -3x^2 + x - 1 < 0} \] Câu 6: Để viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M(-2;3) \) và có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{u} = (1; -4) \), ta làm như sau: 1. Xác định tọa độ của điểm \( M \): Điểm \( M \) có tọa độ là \( (-2; 3) \). 2. Xác định vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{u} \): Vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{u} \) có tọa độ là \( (1; -4) \). 3. Lập phương trình tham số: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M(x_0, y_0) \) và có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{u}(a, b) \) có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{array} \right. \] Thay \( x_0 = -2 \), \( y_0 = 3 \), \( a = 1 \), và \( b = -4 \) vào phương trình trên, ta được: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -2 + 1 \cdot t \\ y = 3 + (-4) \cdot t \end{array} \right. \] Hay: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -2 + t \\ y = 3 - 4t \end{array} \right. \] Vậy phương trình tham số của đường thẳng là: \[ \textcircled{B}. \left\{ \begin{array}{l} x = -2 + t \\ y = 3 - 4t \end{array} \right. \] Câu 7: Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \( A(1, -2) \) và có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (-3, 5) \), ta sử dụng công thức phương trình đường thẳng với vectơ pháp tuyến: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \] Trong đó: - \( (x_0, y_0) \) là tọa độ của điểm \( A \), tức là \( (1, -2) \) - \( (a, b) \) là tọa độ của vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} \), tức là \( (-3, 5) \) Thay các giá trị này vào công thức: \[ -3(x - 1) + 5(y + 2) = 0 \] Mở ngoặc và giản ước: \[ -3x + 3 + 5y + 10 = 0 \] \[ -3x + 5y + 13 = 0 \] Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng là: \[ -3x + 5y + 13 = 0 \] Đáp án đúng là: C. \( -3x + 5y + 13 = 0 \) Câu 8: Để tính khoảng cách từ điểm \( M(1; -1) \) đến đường thẳng \( 3x - 4y - 21 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0) \) đến đường thẳng \( ax + by + c = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Trong đó: - \( a = 3 \) - \( b = -4 \) - \( c = -21 \) - \( x_0 = 1 \) - \( y_0 = -1 \) Thay các giá trị này vào công thức: \[ d = \frac{|3 \cdot 1 + (-4) \cdot (-1) - 21|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \] \[ d = \frac{|3 + 4 - 21|}{\sqrt{9 + 16}} \] \[ d = \frac{|7 - 21|}{\sqrt{25}} \] \[ d = \frac{|-14|}{5} \] \[ d = \frac{14}{5} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(1; -1) \) đến đường thẳng \( 3x - 4y - 21 = 0 \) là \( \frac{14}{5} \). Đáp án đúng là: D. $\frac{14}{5}$ Câu 9: Để tính khoảng cách từ điểm O(0, 0) đến đường thẳng \(4x + 3y - 24 = 0\), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: \[d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\] Trong đó: - \(A = 4\) - \(B = 3\) - \(C = -24\) - \(x_1 = 0\) - \(y_1 = 0\) Thay các giá trị này vào công thức: \[d = \frac{|4 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 24|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}\] \[d = \frac{|-24|}{\sqrt{16 + 9}}\] \[d = \frac{24}{\sqrt{25}}\] \[d = \frac{24}{5}\] \[d = 4,8\] Vậy khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng \(4x + 3y - 24 = 0\) là 4,8. Đáp án đúng là: A. 4,8 Câu 10: Để tìm tâm và bán kính của đường tròn từ phương trình tổng quát của đường tròn, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình dưới dạng tổng quát: Phương trình đã cho là: \[ x^2 + y^2 - 2x + 6y - 8 = 0 \] 2. Nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\): Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\) lại: \[ (x^2 - 2x) + (y^2 + 6y) = 8 \] 3. Hoàn thành bình phương: Ta hoàn thành bình phương cho mỗi nhóm: \[ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9) = 8 + 1 + 9 \] Điều này dẫn đến: \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 18 \] 4. So sánh với phương trình chuẩn của đường tròn: Phương trình chuẩn của đường tròn là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \] So sánh với phương trình đã hoàn thành bình phương: \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 18 \] Ta thấy rằng tâm của đường tròn là \(I(1, -3)\) và bán kính \(R = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\). Do đó, tâm và bán kính của đường tròn là: \[ \underline{B.}~I(1, -3),~R = 3\sqrt{2} \] Câu 11: Phương trình đường tròn tâm $I(a,b)$ và bán kính $R$ có dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$. Trong bài này, tâm $I(3,-7)$ và bán kính $R=3$, nên ta có: \[ (x - 3)^2 + (y + 7)^2 = 3^2 \] \[ (x - 3)^2 + (y + 7)^2 = 9 \] Do đó, phương trình đúng là: \[ (x - 3)^2 + (y + 7)^2 = 9 \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~(x-3)^2+(y+7)^2=9 \] Câu 12: Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a$ và $b$ là các hằng số dương. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình đã cho: A. $\frac{x^2}{7} - \frac{y^2}{6} = 1$: Phương trình này có dấu trừ giữa hai phân thức, do đó nó không phải là phương trình chính tắc của elip. B. $\frac{x^2}{7} + \frac{y^2}{6} = 1$: Phương trình này có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, do đó nó là phương trình chính tắc của elip. C. $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{7} = 1$: Phương trình này cũng có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, do đó nó là phương trình chính tắc của elip. D. $\frac{x^2}{6} - \frac{y^2}{7} = 1$: Phương trình này có dấu trừ giữa hai phân thức, do đó nó không phải là phương trình chính tắc của elip. Như vậy, cả hai phương trình B và C đều là phương trình chính tắc của elip. Tuy nhiên, theo yêu cầu của đề bài, chúng ta chỉ chọn một phương trình duy nhất. Do đó, ta chọn phương trình B vì nó là phương án đầu tiên đúng trong danh sách. Đáp án: B. $\frac{x^2}{7} + \frac{y^2}{6} = 1$. Câu 14: Để giải quyết yêu cầu này, chúng ta cần biết cụ thể các phương trình nào đang được đề cập. Tuy nhiên, dựa trên yêu cầu của bạn, tôi sẽ giả sử rằng chúng ta cần kiểm tra tính chất của các phương trình dưới dạng tổng quát. Dưới đây là các bước để phân tích một phương trình: 1. Xác định loại phương trình: Đầu tiên, chúng ta cần xác định phương trình thuộc loại nào (phương trình bậc nhất, bậc hai, phương trình chứa căn thức, phương trình chứa phân thức,...). 2. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với phương trình chứa căn thức, ĐKXĐ là biểu thức dưới dấu căn phải lớn hơn hoặc bằng 0. - Đối với phương trình chứa phân thức, ĐKXĐ là mẫu số của phân thức phải khác 0. 3. Giải phương trình: - Phương trình bậc nhất: \( ax + b = 0 \) (với \( a \neq 0 \)). - Phương trình bậc hai: \( ax^2 + bx + c = 0 \) (với \( a \neq 0 \)), sử dụng công thức nghiệm \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \). - Phương trình chứa căn thức: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn thức, sau đó giải phương trình kết quả. - Phương trình chứa phân thức: Nhân cả hai vế với mẫu số chung để loại bỏ phân thức, sau đó giải phương trình kết quả. 4. Kiểm tra điều kiện xác định: Sau khi tìm được các nghiệm, chúng ta cần kiểm tra xem các nghiệm này có thỏa mãn ĐKXĐ hay không. Nếu không thỏa mãn, chúng ta loại bỏ nghiệm đó. 5. Kết luận: Ghi rõ các nghiệm của phương trình, nếu có. Ví dụ cụ thể: - Phương trình \( x^2 - 5x + 6 = 0 \): - Đây là phương trình bậc hai. - Áp dụng công thức nghiệm: \( x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \). - Vậy \( x_1 = 3 \) và \( x_2 = 2 \). - Phương trình \( \sqrt{x + 1} = 3 \): - ĐKXĐ: \( x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1 \). - Bình phương cả hai vế: \( x + 1 = 9 \Rightarrow x = 8 \). - Kiểm tra ĐKXĐ: \( x = 8 \) thỏa mãn \( x \geq -1 \). Như vậy, chúng ta đã hoàn thành các bước phân tích và giải phương trình theo yêu cầu. Câu 13: Phương trình chính tắc của một hypebol có dạng: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] Trong các phương trình đã cho, ta thấy phương trình: \[ C.~\frac{x^2}{14} - \frac{y^2}{16} = 1 \] có dạng đúng với phương trình chính tắc của hypebol. Do đó, phương án đúng là: \[ \textcircled{C.}~\frac{x^2}{14} - \frac{y^2}{16} = 1 \] Câu 15: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần làm rõ yêu cầu và các thông tin đã cho. Bài toán yêu cầu tính giá trị của biểu thức $\frac{1}{P_5} - \frac{1}{A^3_4}$. Trước tiên, chúng ta cần hiểu các ký hiệu: - \( P_n \) là số các hoán vị của n phần tử. - \( A^n_m \) là số các chỉnh hợp chập m của n phần tử. Ta có: \[ P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \] \[ A^3_4 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \] Bây giờ, ta tính giá trị của biểu thức: \[ \frac{1}{P_5} - \frac{1}{A^3_4} = \frac{1}{120} - \frac{1}{24} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{1}{120} - \frac{1}{24} = \frac{1}{120} - \frac{5}{120} = \frac{1 - 5}{120} = \frac{-4}{120} = \frac{-1}{30} \] Vậy, giá trị của biểu thức là: \[ \frac{1}{P_5} - \frac{1}{A^3_4} = \frac{-1}{30} \] Đáp án: \(\boxed{\frac{-1}{30}}\)