giải giúp tớ uu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết $SA\bot(ABCD)$ và $SA=a\sqrt2.$,a) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) bằng $\frac{a\sqrt6}3.$,b) Số đo của góc nhị diện [S, BC, ] bằng $45^0.$,$c)~BC\bot(SAB).$,d) Thể tích khối chóp S.ABCD bằng $\frac{a^3\sqrt2}3.$,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1: Cho hàm số $f(x)=\frac{x^2+1}{x+1}.$ Biết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^2.f(x^3+\frac1x)$ tại,điểm có hoành độ bằng 1 là $ax-9y+c=0.$ Tính giá trị $a-c.$,Câu 2: Một chất điểm chuyển động với phương trình $s(t)=t^3+3t^2-t+2~(s(t)$ là quãng đường tính

Question

giải giúp tớ uu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết $SA\bot(ABCD)$ và $SA=a\sqrt2.$,a) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) bằng $\frac{a\sqrt6}3.$,b) Số đo của góc nhị diện [S, BC, ]  bằng $45^0.$,$c)~BC\bot(SAB).$,d) Thể tích khối chóp S.ABCD bằng $\frac{a^3\sqrt2}3.$,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1: Cho hàm số $f(x)=\frac{x^2+1}{x+1}.$ Biết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^2.f(x^3+\frac1x)$ tại,điểm có hoành độ bằng 1 là $ax-9y+c=0.$ Tính giá trị $a-c.$,Câu 2: Một chất điểm chuyển động với phương trình $s(t)=t^3+3t^2-t+2~(s(t)$ là quãng đường tính

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phát biểu (a), (b), (c), và (d).

a) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD)

- Điều kiện xác định: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a√2.
- Phương pháp giải:
  - Xác định khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) bằng cách tìm đường cao hạ từ B xuống (SCD).
  - Diện tích tam giác SCD: 
    $$
    S_{SCD} = \frac{1}{2} \times CD \times SD = \frac{1}{2} \times a \times a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}
    $$
  - Diện tích tam giác SBD:
    $$
    S_{SBD} = \frac{1}{2} \times BD \times SA = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times a\sqrt{2} = \frac{a^2 \times 2}{2} = a^2
    $$
  - Khoảng cách từ B đến (SCD):
    $$
    d(B, (SCD)) = \frac{2 \times S_{SBD}}{S_{SCD}} = \frac{2 \times a^2}{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}} = \frac{4a^2}{a^2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}
    $$

b) Số đo của góc nhị diện [S, BC, ]

- Phương pháp giải:
  - Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD là góc giữa hai đường thẳng SA và SB.
  - Vì SA ⊥ (ABCD), góc giữa SA và SB chính là góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD).
  - Ta có:
    $$
    \cos(\angle SBA) = \frac{BA}{SB} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}
    $$
  - Do đó, góc nhị diện là:
    $$
    \angle SBA = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)
    $$

c) BC ⊥ (SAB)

- Phương pháp giải:
  - Để chứng minh BC ⊥ (SAB), ta cần chứng minh BC ⊥ SA và BC ⊥ AB.
  - Vì SA ⊥ (ABCD), nên SA ⊥ BC.
  - Vì ABCD là hình vuông, nên BC ⊥ AB.
  - Vậy BC ⊥ (SAB).

d) Thể tích khối chóp S.ABCD

- Phương pháp giải:
  - Diện tích đáy ABCD:
    $$
    S_{ABCD} = a^2
    $$
  - Chiều cao SA = a√2.
  - Thể tích khối chóp:
    $$
    V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA = \frac{1}{3} \times a^2 \times a\sqrt{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}
    $$

Kết luận:
- Phát biểu a) đúng.
- Phát biểu b) sai vì góc nhị diện không phải là 45°.
- Phát biểu c) đúng.
- Phát biểu d) đúng.

Vậy các phát biểu đúng là a), c), và d).

Câu 1:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số $ f(x) $.
2. Xác định hàm số $ y = x^2 \cdot f(x^3 + \frac{1}{x}) $.
3. Tìm đạo hàm của hàm số $ y $.
4. Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $ x = 1 $.
5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $ y $ tại điểm có hoành độ bằng 1.
6. So sánh phương trình tiếp tuyến đã tìm được với phương trình $ ax - 9y + c = 0 $ để tìm giá trị của $ a $ và $ c $.
7. Tính giá trị của $ a - c $.

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $ f(x) $.

Hàm số $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 1} $.

Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số:
$$ f'(x) = \frac{(x^2 + 1)'(x + 1) - (x^2 + 1)(x + 1)'}{(x + 1)^2} $$
$$ f'(x) = \frac{(2x)(x + 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x + 1)^2} $$
$$ f'(x) = \frac{2x^2 + 2x - x^2 - 1}{(x + 1)^2} $$
$$ f'(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{(x + 1)^2} $$

Bước 2: Xác định hàm số $ y = x^2 \cdot f(x^3 + \frac{1}{x}) $.

Thay $ x^3 + \frac{1}{x} $ vào $ f(x) $:
$$ f(x^3 + \frac{1}{x}) = \frac{(x^3 + \frac{1}{x})^2 + 1}{x^3 + \frac{1}{x} + 1} $$

Do đó:
$$ y = x^2 \cdot \frac{(x^3 + \frac{1}{x})^2 + 1}{x^3 + \frac{1}{x} + 1} $$

Bước 3: Tìm đạo hàm của hàm số $ y $.

Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích và thương hai hàm số:
$$ y' = \left( x^2 \right)' \cdot f(x^3 + \frac{1}{x}) + x^2 \cdot \left( f(x^3 + \frac{1}{x}) \right)' $$

Tính đạo hàm từng phần:
$$ \left( x^2 \right)' = 2x $$

Đạo hàm của $ f(x^3 + \frac{1}{x}) $:
$$ f'(x^3 + \frac{1}{x}) = \frac{(x^3 + \frac{1}{x})^2 + 2(x^3 + \frac{1}{x}) - 1}{(x^3 + \frac{1}{x} + 1)^2} $$

Sử dụng chuỗi đạo hàm:
$$ \left( f(x^3 + \frac{1}{x}) \right)' = f'(x^3 + \frac{1}{x}) \cdot \left( x^3 + \frac{1}{x} \right)' $$
$$ \left( x^3 + \frac{1}{x} \right)' = 3x^2 - \frac{1}{x^2} $$

Do đó:
$$ y' = 2x \cdot f(x^3 + \frac{1}{x}) + x^2 \cdot f'(x^3 + \frac{1}{x}) \cdot \left( 3x^2 - \frac{1}{x^2} \right) $$

Bước 4: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $ x = 1 $.

Thay $ x = 1 $ vào các biểu thức:
$$ f(1) = \frac{1^2 + 1}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1 $$
$$ f'(1) = \frac{1^2 + 2 \cdot 1 - 1}{(1 + 1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$

Do đó:
$$ y'(1) = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (3 \cdot 1^2 - \frac{1}{1^2}) $$
$$ y'(1) = 2 + \frac{1}{2} \cdot (3 - 1) $$
$$ y'(1) = 2 + \frac{1}{2} \cdot 2 $$
$$ y'(1) = 2 + 1 = 3 $$

Bước 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $ y $ tại điểm có hoành độ bằng 1.

Phương trình tiếp tuyến có dạng:
$$ y - y_1 = y'(x_1) \cdot (x - x_1) $$

Tại điểm $ x = 1 $:
$$ y_1 = 1^2 \cdot f(1^3 + \frac{1}{1}) = 1 \cdot 1 = 1 $$

Do đó:
$$ y - 1 = 3 \cdot (x - 1) $$
$$ y - 1 = 3x - 3 $$
$$ y = 3x - 2 $$

Bước 6: So sánh phương trình tiếp tuyến đã tìm được với phương trình $ ax - 9y + c = 0 $ để tìm giá trị của $ a $ và $ c $.

Phương trình tiếp tuyến:
$$ y = 3x - 2 $$

Viết lại dưới dạng $ ax - 9y + c = 0 $:
$$ 3x - y - 2 = 0 $$
$$ 3x - 9y - 18 = 0 $$

So sánh:
$$ a = 3 $$
$$ c = -18 $$

Bước 7: Tính giá trị của $ a - c $.

$$ a - c = 3 - (-18) = 3 + 18 = 21 $$

Vậy giá trị của $ a - c $ là:
$$ \boxed{21} $$

Câu 2:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm vận tốc tức thời của chất điểm:
   Vận tốc tức thời của chất điểm là đạo hàm của quãng đường theo thời gian. Ta có:
   $$
   v(t) = s'(t)
   $$
   Với $ s(t) = t^3 + 3t^2 - t + 2 $, ta tính đạo hàm:
   $$
   s'(t) = 3t^2 + 6t - 1
   $$
   Vậy vận tốc tức thời của chất điểm là:
   $$
   v(t) = 3t^2 + 6t - 1
   $$

2. Tìm gia tốc tức thời của chất điểm:
   Gia tốc tức thời của chất điểm là đạo hàm của vận tốc tức thời theo thời gian. Ta có:
   $$
   a(t) = v'(t)
   $$
   Với $ v(t) = 3t^2 + 6t - 1 $, ta tính đạo hàm:
   $$
   v'(t) = 6t + 6
   $$
   Vậy gia tốc tức thời của chất điểm là:
   $$
   a(t) = 6t + 6
   $$

3. Tóm tắt kết quả:
   - Vận tốc tức thời của chất điểm là $ v(t) = 3t^2 + 6t - 1 $.
   - Gia tốc tức thời của chất điểm là $ a(t) = 6t + 6 $.

Đáp số:
- Vận tốc tức thời: $ v(t) = 3t^2 + 6t - 1 $
- Gia tốc tức thời: $ a(t) = 6t + 6 $