Giải giúp tôi

Câu 13. Để tính đạo hàm của hàm số $y = \cos x + 6e^x$, ta áp dụng công thức đạo hàm của tổng hai hàm số và đạo hàm của từng hàm số riêng lẻ. 1. Đạo hàm của $\cos x$ là $-\sin x$. 2. Đạo hàm của $6e^x$ là $6e^x$ (vì đạo hàm của $e^x$ là $e^x$ và hằng số nhân vào). Do đó, đạo hàm của hàm số $y = \cos x + 6e^x$ là: \[ y' = -\sin x + 6e^x \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~y^\prime = -\sin x + 6e^x \] Câu 14. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit. Bước 1: Áp dụng tính chất logarit tổng: \[ \log_3(81a) = \log_3(81) + \log_3(a) \] Bước 2: Tính giá trị của \(\log_3(81)\): \[ 81 = 3^4 \Rightarrow \log_3(81) = \log_3(3^4) = 4 \] Bước 3: Kết hợp các kết quả từ Bước 1 và Bước 2: \[ \log_3(81a) = 4 + \log_3(a) \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\textcircled{B.}~4 + \log_3a} \] Câu 15. Để tìm khoảng cách giữa đường thẳng SA và đường thẳng BC trong hình chóp S.ABC, ta cần xác định đoạn thẳng nối hai đường thẳng này và vuông góc với cả hai đường thẳng đó. Trước tiên, ta nhận thấy rằng: - Tam giác ABC là tam giác vuông tại B, do đó AB vuông góc với BC. - SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), do đó SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC), bao gồm cả BC. Do đó, khoảng cách giữa đường thẳng SA và đường thẳng BC sẽ là đoạn thẳng vuông góc với cả hai đường thẳng này. Ta có thể thấy rằng đoạn thẳng AB thỏa mãn điều kiện này vì: - AB nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với BC. - SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), do đó SA cũng vuông góc với AB. Vậy khoảng cách giữa đường thẳng SA và đường thẳng BC là độ dài đoạn thẳng AB. Đáp án đúng là: C. AB. Câu 16: Để tìm số đo của góc phẳng nhị diện [S,BD,A], ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD): - Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên SA là đường thẳng vuông góc hạ từ đỉnh S xuống mặt phẳng (ABCD). 2. Xác định giao tuyến BD: - Giao tuyến BD nằm trong mặt phẳng (ABCD) và cũng là đường chéo của hình vuông ABCD. 3. Tìm góc giữa đường thẳng SA và đường thẳng BD: - Ta cần tìm góc giữa đường thẳng SA và đường thẳng BD để xác định góc phẳng nhị diện [S,BD,A]. 4. Xác định tam giác vuông SOB: - Vì O là tâm của hình vuông ABCD, nên O là trung điểm của BD. - Tam giác SOB là tam giác vuông tại O, với SO là đường cao hạ từ S xuống BD. 5. Tính độ dài SO: - Độ dài SO bằng $\frac{SA}{\sqrt{2}}$ vì tam giác SOB là tam giác vuông cân tại O. - Do đó, $SO = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{a}{2}$. 6. Tính góc SOB: - Trong tam giác SOB, ta có SO = OB = $\frac{a}{2}$. - Vậy tam giác SOB là tam giác vuông cân, do đó góc SOB = 45°. 7. Kết luận: - Góc phẳng nhị diện [S,BD,A] chính là góc SOB, tức là 45°. Vậy đáp án đúng là: $\textcircled{D.}~45^0$. Câu 17. Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho là nghịch biến trên $\mathbb{R}$, chúng ta cần kiểm tra tính chất của mỗi hàm số. A. $y = \log_2 x$ - Hàm số này là hàm logarit cơ số 2. Hàm logarit cơ số lớn hơn 1 là hàm đồng biến trên miền xác định của nó, tức là $(0, +\infty)$. Do đó, hàm số này không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B. $y = \ln x$ - Hàm số này là hàm logarit tự nhiên (cơ số e). Hàm logarit tự nhiên cũng là hàm đồng biến trên miền xác định của nó, tức là $(0, +\infty)$. Do đó, hàm số này không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. C. $y = \log_{\frac{2}{3}} x$ - Hàm số này là hàm logarit cơ số $\frac{2}{3}$. Hàm logarit cơ số nhỏ hơn 1 là hàm nghịch biến trên miền xác định của nó, tức là $(0, +\infty)$. Do đó, hàm số này nghịch biến trên miền xác định của nó, nhưng không phải trên toàn bộ $\mathbb{R}$. D. $y = \log x$ - Hàm số này là hàm logarit cơ số 10. Hàm logarit cơ số lớn hơn 1 là hàm đồng biến trên miền xác định của nó, tức là $(0, +\infty)$. Do đó, hàm số này không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Như vậy, trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm số $y = \log_{\frac{2}{3}} x$ là nghịch biến trên miền xác định của nó, nhưng không phải trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Do đó, đáp án đúng là: C. $y = \log_{\frac{2}{3}} x$ Đáp số: C. $y = \log_{\frac{2}{3}} x$ Câu 18: Để xác định đồ thị hàm số nào trong các lựa chọn đã cho, ta sẽ kiểm tra từng hàm số một. 1. Kiểm tra hàm số \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x \): - Đây là hàm số mũ với cơ số nhỏ hơn 1. Đồ thị của nó sẽ giảm dần từ trái sang phải và đi qua điểm (0,1). - Đồ thị này không phù hợp với đồ thị trong hình vì đồ thị trong hình tăng dần từ trái sang phải. 2. Kiểm tra hàm số \( y = \log_{\frac{1}{3}} x \): - Đây là hàm số logarit với cơ số nhỏ hơn 1. Đồ thị của nó sẽ giảm dần từ trái sang phải và đi qua điểm (1,0). - Đồ thị này cũng không phù hợp với đồ thị trong hình vì đồ thị trong hình tăng dần từ trái sang phải. 3. Kiểm tra hàm số \( y = \log_3 x \): - Đây là hàm số logarit với cơ số lớn hơn 1. Đồ thị của nó sẽ tăng dần từ trái sang phải và đi qua điểm (1,0). - Đồ thị này phù hợp với đồ thị trong hình vì đồ thị trong hình tăng dần từ trái sang phải và đi qua điểm (1,0). 4. Kiểm tra hàm số \( y = 3^x \): - Đây là hàm số mũ với cơ số lớn hơn 1. Đồ thị của nó sẽ tăng dần từ trái sang phải và đi qua điểm (0,1). - Đồ thị này không phù hợp với đồ thị trong hình vì đồ thị trong hình đi qua điểm (1,0). Từ các phân tích trên, ta thấy rằng đồ thị trong hình phù hợp với đồ thị của hàm số \( y = \log_3 x \). Đáp án đúng là: C. \( y = \log_3 x \). Câu 19. Để tính xác suất lấy được 2 quả cầu khác màu từ hộp đựng 8 quả cầu trắng và 12 quả cầu đen, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số cách chọn 2 quả cầu từ 20 quả cầu: Số cách chọn 2 quả cầu từ 20 quả cầu là: \[ C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190 \] 2. Tìm số cách chọn 2 quả cầu khác màu: - Số cách chọn 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen: \[ 8 \times 12 = 96 \] 3. Tính xác suất lấy được 2 quả cầu khác màu: Xác suất lấy được 2 quả cầu khác màu là: \[ P(\text{kết quả}) = \frac{\text{số cách chọn 2 quả cầu khác màu}}{\text{tổng số cách chọn 2 quả cầu}} = \frac{96}{190} \] Rút gọn phân số: \[ \frac{96}{190} = \frac{48}{95} \] Vậy xác suất lấy được 2 quả cầu khác màu là $\frac{48}{95}$. Đáp án đúng là: $B.~\frac{48}{95}$. Câu 20. Để xác định đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng nào, ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng một. A. Mặt phẳng (SAB): - Vì SA vuông góc với AB, nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAB). - Tuy nhiên, BC không nằm trong mặt phẳng (SAB) và không có thông tin cho thấy BC vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng này. Do đó, ta không thể kết luận BC vuông góc với (SAB). B. Mặt phẳng (SAC): - Vì SA vuông góc với AC, nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAC). - Tuy nhiên, BC không nằm trong mặt phẳng (SAC) và không có thông tin cho thấy BC vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng này. Do đó, ta không thể kết luận BC vuông góc với (SAC). C. Mặt phẳng (SBC): - Vì BC nằm trong mặt phẳng (SBC), nên BC không thể vuông góc với chính mặt phẳng của nó. D. Mặt phẳng (ABC): - Tam giác ABC là tam giác vuông tại B, do đó BC vuông góc với AB. - Mặt khác, vì SA vuông góc với cả AB và AC, nên SA cũng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC), bao gồm cả BC. - Do đó, BC vuông góc với cả AB và SA, hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC) và cắt nhau. Điều này đủ để kết luận rằng BC vuông góc với mặt phẳng (ABC). Vậy đáp án đúng là: D. (ABC).