Câu 2.
Phương trình đã cho là:
Ta nhận thấy rằng có thể viết lại dưới dạng lũy thừa cơ sở 3:
Do đó, phương trình trở thành:
Vì hai vế đều có cùng cơ sở là 3, ta suy ra:
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
Đáp án đúng là:
Câu 3.
Trước tiên, ta xét từng khẳng định một để kiểm tra xem chúng có đúng hay sai.
Khẳng định A:
- Vì đáy ABCD là hình vuông nên .
- Mặt khác, nên .
- Do đó, là đường thẳng chung giữa hai mặt phẳng và .
- Vì và , suy ra .
Khẳng định B:
- Vì , do đó (vì là một phần của ).
Khẳng định C:
- Vì đáy ABCD là hình vuông nên .
- Mặt khác, nên .
- Do đó, là đường thẳng chung giữa hai mặt phẳng và .
- Vì và , suy ra .
Khẳng định D:
- Vì đáy ABCD là hình vuông nên là đường chéo của hình vuông, do đó .
- Mặt khác, nên .
- Do đó, là đường thẳng chung giữa hai mặt phẳng và .
- Vì và , suy ra .
Từ các lập luận trên, ta thấy rằng tất cả các khẳng định đều đúng ngoại trừ khẳng định C vì chứ không phải .
Vậy khẳng định sai là:
Câu 4.
Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABC có SA = SB = SC, điều này cho thấy S nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại B, nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC sẽ có đường kính là AC (theo tính chất đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông).
Do đó, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC sẽ là trung điểm của AC. Vì vậy, điểm H, là chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC), sẽ trùng với trung điểm của AC.
Vậy khẳng định đúng là:
C. H trùng với trung điểm của AC.
Câu 5.
Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình chóp tam giác đều S.ABC, các cạnh SA, SB, SC đều bằng nhau và đáy ABC là tam giác đều. Trọng tâm O của tam giác ABC cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng (ABC) chính là chiều cao hạ từ S vuông góc xuống mặt phẳng (ABC). Trong hình chóp đều, khoảng cách này sẽ đi qua trọng tâm O của tam giác ABC.
Do đó, khoảng cách từ S đến (ABC) chính là độ dài đoạn SO.
Đáp án đúng là: D. Độ dài đoạn SO.
Câu 6.
Câu hỏi yêu cầu xác định tên của biến cố "A hoặc B xảy ra" và biến cố giao của A và B.
1. Biến cố "A hoặc B xảy ra" được gọi là biến cố hợp của A và B. Do đó, đáp án đúng là:
- C. Biến cố hợp của A và B.
2. Biến cố giao của A và B là biến cố xảy ra khi cả A và B đều xảy ra cùng một lúc. Đáp án đúng là:
- A. Biến cố giao của A và B.
Tóm lại:
- Biến cố "A hoặc B xảy ra" là biến cố hợp của A và B.
- Biến cố giao của A và B là biến cố xảy ra khi cả A và B đều xảy ra cùng một lúc.
Đáp án:
- Biến cố "A hoặc B xảy ra": C. Biến cố hợp của A và B.
- Biến cố giao của A và B: A. Biến cố giao của A và B.
Câu 7.
Để tính xác suất để tổng hai số ghi trên 2 tấm thẻ là một số lẻ, chúng ta cần xem xét các trường hợp có thể xảy ra.
1. Tổng của hai số là số lẻ: Điều này xảy ra khi một trong hai số là số chẵn và số còn lại là số lẻ.
2. Số lượng các số chẵn và số lẻ trong khoảng từ 1 đến 20:
- Số chẵn: 2, 4, 6, ..., 20 (10 số)
- Số lẻ: 1, 3, 5, ..., 19 (10 số)
3. Số cách chọn 2 thẻ từ 20 thẻ:
- Tổng số cách chọn 2 thẻ từ 20 thẻ là cách.
4. Số cách chọn 1 thẻ chẵn và 1 thẻ lẻ:
- Số cách chọn 1 thẻ chẵn từ 10 thẻ chẵn là cách.
- Số cách chọn 1 thẻ lẻ từ 10 thẻ lẻ là cách.
- Vậy số cách chọn 1 thẻ chẵn và 1 thẻ lẻ là cách.
5. Xác suất để tổng hai số ghi trên 2 tấm thẻ là số lẻ:
- Xác suất là .
Vậy đáp án đúng là:
Câu 8.
Để tính xác suất khi gieo hai đồng xu A và B một lần thì cả hai đều ngửa, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:
1. Xác định xác suất của đồng xu A:
- Vì đồng xu A được chế tạo cân đối, xác suất xuất hiện mặt ngửa của đồng xu A là:
2. Xác định xác suất của đồng xu B:
- Gọi xác suất xuất hiện mặt ngửa của đồng xu B là . Do đồng xu B được chế tạo không cân đối và xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa, ta có:
- Tổng xác suất của tất cả các kết quả phải bằng 1, do đó:
- Vậy xác suất xuất hiện mặt ngửa của đồng xu B là:
3. Tính xác suất cả hai đồng xu đều ngửa:
- Vì hai đồng xu được gieo độc lập, xác suất cả hai đồng xu đều ngửa là tích của xác suất mỗi đồng xu ngửa:
Vậy xác suất để khi gieo hai đồng xu một lần thì cả hai đều ngửa là .
Đáp án đúng là: .
Câu 9.
Ta có:
Theo định nghĩa của đạo hàm, ta biết rằng:
Trong bài này, . Do đó:
Theo đề bài, ta đã biết .
Vậy:
Đáp án đúng là: B. 2.
Câu 10.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tính đạo hàm của hàm số .
2. Tìm các giá trị của sao cho đạo hàm .
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số .
Bước 2: Giải bất phương trình .
Chúng ta cần tìm các giá trị của sao cho . Đầu tiên, giải phương trình :
Từ đó, ta có hai nghiệm:
Bây giờ, ta xét dấu của biểu thức trên các khoảng được xác định bởi các nghiệm và :
- Khi , chọn :
- Khi , chọn :
- Khi , chọn :
Do đó, biểu thức đúng trong khoảng .
Vậy tập hợp các giá trị của sao cho là:
Đáp án đúng là:
Câu 11.
Để tính đạo hàm của hàm số , ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số. Công thức này được viết dưới dạng:
Trong đó:
-
-
Bước 1: Tính đạo hàm của :
Bước 2: Tính đạo hàm của :
Bước 3: Áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số:
Vậy đạo hàm của hàm số là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 12.
Để tìm đạo hàm của hàm số , chúng ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm từng phần của tổng và công thức đạo hàm của lũy thừa.
1. Đạo hàm của :
2. Đạo hàm của :
3. Đạo hàm của :
4. Đạo hàm của hằng số 1:
Gộp tất cả các đạo hàm lại, ta có:
Do đó, đáp án đúng là: