Giúp mình với…

Câu 7. Để tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3\cos x - 4\sin x$, ta thực hiện như sau: 1. Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ: - Nguyên hàm của $\cos x$ là $\sin x$. - Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x$. 2. Áp dụng tính chất tuyến tính của nguyên hàm: - Nguyên hàm của $3\cos x$ là $3\sin x$. - Nguyên hàm của $-4\sin x$ là $4\cos x$. 3. Kết hợp lại, ta có: \[ \int f(x) \, dx = \int (3\cos x - 4\sin x) \, dx = 3\sin x + 4\cos x + C \] Trong đó, $C$ là hằng số nguyên hàm. Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~3\sin x + 4\cos x + C. \] Câu 8. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2\sin x + \frac{3}{\sin^2 x} \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần riêng lẻ. 1. Tìm nguyên hàm của \( 2\sin x \): \[ \int 2\sin x \, dx = -2\cos x + C_1 \] 2. Tìm nguyên hàm của \( \frac{3}{\sin^2 x} \): \[ \frac{3}{\sin^2 x} = 3 \csc^2 x \] Biết rằng: \[ \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C_2 \] Do đó: \[ \int 3 \csc^2 x \, dx = 3(-\cot x) + C_2 = -3\cot x + C_2 \] 3. Kết hợp hai nguyên hàm trên: \[ \int \left( 2\sin x + \frac{3}{\sin^2 x} \right) dx = -2\cos x - 3\cot x + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2\sin x + \frac{3}{\sin^2 x} \) là: \[ -2\cos x - 3\cot x + C \] Đáp án đúng là: \( A. -2\cos x - 3\cot x + C \). Câu 9. Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 2\sin x - \cos x \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của \( f(x) \): \[ F(x) = \int (2\sin x - \cos x) \, dx \] Ta tính nguyên hàm từng phần: \[ \int 2\sin x \, dx = -2\cos x + C_1 \] \[ \int -\cos x \, dx = -\sin x + C_2 \] Kết hợp lại, ta có: \[ F(x) = -2\cos x - \sin x + C \] 2. Áp dụng điều kiện \( F\left( \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) để xác định hằng số \( C \): \[ F\left( \frac{\pi}{3} \right) = -2\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) - \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) + C \] Biết rằng: \[ \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}, \quad \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Thay vào: \[ F\left( \frac{\pi}{3} \right) = -2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + C = -1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + C \] Theo đề bài, ta có: \[ -1 - \frac{\sqrt{3}}{2} + C = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Giải ra \( C \): \[ C = -1 \] 3. Viết kết quả cuối cùng: \[ F(x) = -2\cos x - \sin x - 1 \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~F(x) = -2\cos x - \sin x - 1 \] Câu 10. Để tìm một nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2025 \), chúng ta cần tìm một hàm \( F(x) \) sao cho đạo hàm của \( F(x) \) bằng \( f(x) \). Hàm số \( f(x) = 2025 \) là một hằng số, vậy nguyên hàm của nó sẽ là: \[ F(x) = 2025x + C \] trong đó \( C \) là hằng số tùy ý. Trong các đáp án đã cho, chỉ có đáp án \( A \) đúng, vì: \[ F(x) = x \cdot 2025^{-1} \] suy ra \[ F'(x) = 2025^{-1} \neq 2025 \] Đáp án đúng là \( D \): \[ F(x) = 2025x + C \] Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng theo yêu cầu của đề bài. Vì vậy, chúng ta cần kiểm tra lại các đáp án đã cho để đảm bảo rằng chúng ta đã hiểu đúng yêu cầu của đề bài. Đáp án đúng là: \[ F(x) = 2025x + C \] Nhưng trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng. Câu 11. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3^x + 2x \). Bước 1: Tính nguyên hàm từng phần của hàm số. - Nguyên hàm của \( 3^x \): \[ \int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C_1 \] - Nguyên hàm của \( 2x \): \[ \int 2x \, dx = x^2 + C_2 \] Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại: \[ \int f(x) \, dx = \int (3^x + 2x) \, dx = \frac{3^x}{\ln 3} + x^2 + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân. Do đó, khẳng định đúng là: \[ D.~\int f(x) \, dx = \frac{3^x}{\ln 3} + x^2 + C \] Đáp án: D. Câu 12. Để tính tích phân \( I = \int^2_0 [x + 2f(x) - 3g(x)] \, dx \), ta sẽ sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân. Bước 1: Tách tích phân thành các phần riêng biệt: \[ I = \int^2_0 x \, dx + 2 \int^2_0 f(x) \, dx - 3 \int^2_0 g(x) \, dx \] Bước 2: Tính từng phần tích phân riêng lẻ. - Tích phân của \( x \): \[ \int^2_0 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]^2_0 = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = 2 \] - Tích phân của \( f(x) \): \[ \int^2_0 f(x) \, dx = 3 \] (theo đề bài) - Tích phân của \( g(x) \): \[ \int^2_0 g(x) \, dx = -1 \] (theo đề bài) Bước 3: Thay các giá trị đã tính vào biểu thức: \[ I = 2 + 2 \cdot 3 - 3 \cdot (-1) \] \[ I = 2 + 6 + 3 \] \[ I = 11 \] Vậy đáp án đúng là \( I = 11 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{21}{2}} \] Câu 13. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin về giả thiết ban đầu hoặc điều kiện cụ thể của bài toán. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp để xác định giá trị đúng của \( I \). Giả sử \( I \) là một biến số và chúng ta cần xác định giá trị của nó từ các lựa chọn đã cho: - A. \( I = 11 \) - B. \( I = 17 \) - C. \( I = 23 \) - D. \( I = 8 \) Do không có thông tin chi tiết về bài toán, chúng ta sẽ giả định rằng một trong các giá trị này là đúng và kiểm tra từng trường hợp. 1. Kiểm tra \( I = 11 \): - Nếu \( I = 11 \), chúng ta cần kiểm tra xem liệu giá trị này có thỏa mãn các điều kiện của bài toán hay không. 2. Kiểm tra \( I = 17 \): - Nếu \( I = 17 \), chúng ta cũng cần kiểm tra xem liệu giá trị này có thỏa mãn các điều kiện của bài toán hay không. 3. Kiểm tra \( I = 23 \): - Nếu \( I = 23 \), chúng ta cũng cần kiểm tra xem liệu giá trị này có thỏa mãn các điều kiện của bài toán hay không. 4. Kiểm tra \( I = 8 \): - Nếu \( I = 8 \), chúng ta cũng cần kiểm tra xem liệu giá trị này có thỏa mãn các điều kiện của bài toán hay không. Vì không có thông tin chi tiết về bài toán, chúng ta không thể xác định chính xác giá trị của \( I \). Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho, chúng ta có thể đưa ra một kết luận dựa trên các khả năng: - Nếu bài toán yêu cầu chúng ta chọn một trong các giá trị đã cho, chúng ta có thể chọn một trong các giá trị này tùy thuộc vào điều kiện của bài toán. Vì vậy, chúng ta có thể kết luận rằng giá trị của \( I \) có thể là một trong các giá trị đã cho: 11, 17, 23, hoặc 8. Đáp án: A. \( I = 11 \), B. \( I = 17 \), C. \( I = 23 \), D. \( I = 8 \). Câu 14. Để tính diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x) = x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 2$ và $x = 4$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định cận trên và cận dưới của tích phân. - Cận dưới là $x = 2$. - Cận trên là $x = 4$. Bước 2: Viết biểu thức tích phân để tính diện tích S. Diện tích S được tính bằng tích phân của hàm số $f(x)$ từ $x = 2$ đến $x = 4$: \[ S = \int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} x \, dx \] Bước 3: Tính tích phân. Tích phân của hàm số $f(x) = x$ là: \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \] Do đó, \[ \int_{2}^{4} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{4} \] Bước 4: Thay cận vào biểu thức tích phân. \[ \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{4} = \frac{4^2}{2} - \frac{2^2}{2} = \frac{16}{2} - \frac{4}{2} = 8 - 2 = 6 \] Vậy diện tích S của hình thang cong là: \[ S = 6 \] Đáp số: Diện tích S của hình thang cong là 6.