Giải các câu sau

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit. Biểu thức $\log_{2^2} b$ có thể được viết lại dưới dạng $\log_{4} b$. Theo tính chất của logarit, ta có: \[ \log_{4} b = \log_{2^2} b = \frac{\log_2 b}{\log_2 4} \] Vì $\log_2 4 = 2$, nên: \[ \log_{4} b = \frac{\log_2 b}{2} = \frac{1}{2} \log_2 b \] Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có lựa chọn nào đúng với kết quả trên. Do đó, chúng ta cần kiểm tra lại các lựa chọn đã cho: - A. $(\log_2 b)^2$: Đây là bình phương của logarit, không phải là biểu thức ban đầu. - B. $\log_{\varphi} b$: Đây là logarit cơ số phi, không liên quan đến biểu thức ban đầu. - C. $2 \log_2 b$: Đây là hai lần logarit cơ số 2 của b, không phải là biểu thức ban đầu. - D. $2 \log b$: Đây là hai lần logarit cơ số 10 của b, không phải là biểu thức ban đầu. Như vậy, không có lựa chọn nào đúng trong các lựa chọn đã cho. Tuy nhiên, nếu chúng ta dựa vào các tính chất của logarit, thì biểu thức $\log_{2^2} b$ sẽ là $\frac{1}{2} \log_2 b$. Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~2 \log_2 b} \] Câu 2: Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \log_1(x + 1) \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit dương vì logarit chỉ được xác định khi đối số dương. 1. Điều kiện đầu tiên là: \[ x + 1 > 0 \] 2. Giải bất phương trình này: \[ x > -1 \] Do đó, tập xác định của hàm số \( y = \log_1(x + 1) \) là: \[ (-1, +\infty) \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~(-1;+\infty) \] Câu 3: Trong hình chóp S.ABC, ta có SA ⊥ (ABC). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là góc giữa đường thẳng SB và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (ABC). Hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC) là đoạn thẳng từ B vuông góc với (ABC), tức là đoạn thẳng BA. Do đó, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là góc SBA. Vậy đáp án đúng là: B. SBA. Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông tin đã biết: - Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B, do đó AB = BC = 2a. - SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC. 2. Tìm diện tích tam giác ABC: - Diện tích tam giác ABC là $\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 2a \times 2a = 2a^2$. 3. Tìm diện tích tam giác SAB: - Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC, nên SA cũng vuông góc với AB. - Diện tích tam giác SAB là $\frac{1}{2} \times AB \times SA = \frac{1}{2} \times 2a \times SA = a \times SA$. 4. Xác định thể tích khối chóp SABC: - Thể tích khối chóp SABC là $\frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} = \frac{1}{3} \times 2a^2 \times SA = \frac{2a^2 \times SA}{3}$. 5. Xác định thể tích khối chóp SCAB: - Thể tích khối chóp SCAB cũng là $\frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} = \frac{1}{3} \times 2a^2 \times \text{khoảng cách từ C đến (SAB)}$. 6. Vì thể tích khối chóp SABC và SCAB là cùng một thể tích, nên ta có: - $\frac{2a^2 \times SA}{3} = \frac{1}{3} \times 2a^2 \times \text{khoảng cách từ C đến (SAB)}$. - Điều này dẫn đến $SA = \text{khoảng cách từ C đến (SAB)}$. 7. Xác định khoảng cách từ C đến (SAB): - Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC, nên khoảng cách từ C đến (SAB) chính là chiều cao hạ từ C xuống đường thẳng SA trong mặt phẳng (SAC). 8. Xác định chiều cao hạ từ C xuống đường thẳng SA: - Trong tam giác SAC, chiều cao hạ từ C xuống SA là $a\sqrt{2}$ (vì tam giác SAC là tam giác vuông cân tại A). Do đó, khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng (SAB) là $a\sqrt{2}$. Đáp án đúng là: $A.~a\sqrt2$. Câu 5: Biến cố "A hoặc B xảy ra" được gọi là biến cố hợp của A và B. Lập luận từng bước: - Biến cố giao của A và B là biến cố xảy ra khi cả A và B cùng xảy ra. - Biến cố đối của A là biến cố xảy ra khi A không xảy ra. - Biến cố hợp của A và B là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Do đó, đáp án đúng là: C. Biến cố hợp của A và B. Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức xác suất của biến cố xung khắc. 1. Xác định các biến cố: - Biến cố A có xác suất \( P(A) = \frac{1}{3} \). - Biến cố B có xác suất \( P(B) = \frac{1}{4} \). 2. Kiểm tra tính chất xung khắc: - Biến cố A và B là xung khắc, nghĩa là chúng không thể xảy ra cùng một lúc. Do đó, \( P(A \cap B) = 0 \). 3. Áp dụng công thức xác suất của biến cố xung khắc: - Công thức xác suất của biến cố xung khắc là: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \] 4. Tính xác suất \( P(A \cup B) \): - Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \] - Quy đồng mẫu số: \[ P(A \cup B) = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \] 5. Kết luận: - Xác suất để xảy ra biến cố A hoặc B là \( \frac{7}{12} \). Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~P(A\cup B)=\frac{7}{12}. \] Câu 7: Để tìm xác suất của biến cố AB (tức là cả A và B cùng xảy ra), ta sử dụng công thức xác suất của biến cố giao giữa hai biến cố độc lập: \[ P(AB) = P(A) \times P(B) \] Biết rằng: - \( P(A) = 0,6 \) - \( P(B) = 0,7 \) Áp dụng công thức trên: \[ P(AB) = 0,6 \times 0,7 = 0,42 \] Vậy, xác suất của biến cố AB là 0,42. Đáp án đúng là: A. 0,42. Câu 8: Câu 9: Đạo hàm của hàm số $y = x^4$ là: \[ y' = 4x^3 \] Câu 10: Đạo hàm cấp 1 của hàm số $y = 3x^2$ là: \[ y' = 6x \] Đạo hàm cấp 2 của hàm số $y = 3x^2$ là: \[ y'' = 6 \] Câu 11: Đạo hàm của hàm số $y = 2x^5 - 4x^3 - x^2$ là: \[ y' = 10x^4 - 12x^2 - 2x \] Câu 12: Cho hàm số $f(x) = x^3 + 2x$, ta tính đạo hàm cấp 1: \[ f'(x) = 3x^2 + 2 \] Tiếp theo, ta tính đạo hàm cấp 2: \[ f''(x) = 6x \] Giá trị của $f''(1)$ là: \[ f''(1) = 6 \times 1 = 6 \] Câu hỏi về giới hạn: Tính $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(5)}{x - 5}$. Theo định nghĩa đạo hàm, ta có: \[ f'(5) = \lim_{x \to 5} \frac{f(x) - f(5)}{x - 5} \] Do đó: \[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(5)}{x - 5} = f'(5) = 12 \] Đáp án đúng là: A. 12.