a/a+2b+b/b+2c+c/2c+a>=1

Để chứng minh bất đẳng thức $\frac{a}{a+2b} + \frac{b}{b+2c} + \frac{c}{2c+a} \geq 1$, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và so sánh từng phần của biểu thức. Bước 1: Xét biểu thức $\frac{a}{a+2b}$ Ta thấy rằng $\frac{a}{a+2b} < 1$ vì mẫu số luôn lớn hơn hoặc bằng tử số. Bước 2: Xét biểu thức $\frac{b}{b+2c}$ Tương tự, $\frac{b}{b+2c} < 1$ vì mẫu số luôn lớn hơn hoặc bằng tử số. Bước 3: Xét biểu thức $\frac{c}{2c+a}$ Cũng tương tự, $\frac{c}{2c+a} < 1$ vì mẫu số luôn lớn hơn hoặc bằng tử số. Bước 4: Cộng các biểu thức lại Ta có: \[ \frac{a}{a+2b} + \frac{b}{b+2c} + \frac{c}{2c+a} \] Bước 5: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các phân số: \[ \left( \frac{a}{a+2b} + \frac{b}{b+2c} + \frac{c}{2c+a} \right) \left( (a+2b) + (b+2c) + (2c+a) \right) \geq (a + b + c)^2 \] Bước 6: Tính tổng mẫu số \[ (a+2b) + (b+2c) + (2c+a) = 2(a + b + c) \] Bước 7: Thay vào bất đẳng thức \[ \left( \frac{a}{a+2b} + \frac{b}{b+2c} + \frac{c}{2c+a} \right) \cdot 2(a + b + c) \geq (a + b + c)^2 \] Bước 8: Chia cả hai vế cho $2(a + b + c)$ \[ \frac{a}{a+2b} + \frac{b}{b+2c} + \frac{c}{2c+a} \geq \frac{(a + b + c)^2}{2(a + b + c)} = \frac{a + b + c}{2} \] Bước 9: Kết luận Do $\frac{a + b + c}{2} \geq 1$ (vì $a, b, c$ đều dương), ta có: \[ \frac{a}{a+2b} + \frac{b}{b+2c} + \frac{c}{2c+a} \geq 1 \] Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.