Giai giup toi vs

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Phương trình đã cho là $3^{x^2 + x + 2} = \frac{1}{3^{2x - 1}}$. Ta thấy rằng phương trình này không chứa các phân thức, căn thức hoặc logarit nên không cần xác định ĐKXĐ. 2. Chuyển đổi phương trình về dạng cơ bản: - Ta có $\frac{1}{3^{2x - 1}} = 3^{-(2x - 1)} = 3^{-2x + 1}$. - Do đó, phương trình trở thành $3^{x^2 + x + 2} = 3^{-2x + 1}$. 3. Bằng cơ số: - Vì hai vế đều có cơ số là 3, ta có thể so sánh các mũ của chúng: $x^2 + x + 2 = -2x + 1$. 4. Giải phương trình bậc hai: - Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: $x^2 + x + 2 + 2x - 1 = 0$. - Kết hợp các hạng tử: $x^2 + 3x + 1 = 0$. 5. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai: - Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$, ta có: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] - Với $a = 1$, $b = 3$, $c = 1$, ta có: \[ x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} \] 6. Tính giá trị biểu thức $T = x_1^2 + x_2^2$: - Ta biết rằng $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -3$ và $x_1 x_2 = \frac{c}{a} = 1$. - Biểu thức $T = x_1^2 + x_2^2$ có thể viết lại dưới dạng: \[ T = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \] - Thay các giá trị vào: \[ T = (-3)^2 - 2 \cdot 1 = 9 - 2 = 7 \] Vậy giá trị của biểu thức $T = x_1^2 + x_2^2$ là $\boxed{7}$. Câu 2. Để tính số tiền tối thiểu để mua bê tông tươi làm chân tháp, chúng ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính diện tích đáy dưới và đáy trên của khối chóp cụt - Diện tích đáy dưới (S1): \[ S_1 = 5 \times 5 = 25 \text{ m}^2 \] - Diện tích đáy trên (S2): \[ S_2 = 2 \times 2 = 4 \text{ m}^2 \] Bước 2: Tính chiều cao của khối chóp cụt Ta sử dụng công thức tính chiều cao của khối chóp cụt: \[ h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2} \] Trong đó: - \( l \) là chiều dài cạnh bên của khối chóp cụt (3 m) - \( a \) là cạnh đáy dưới (5 m) - \( b \) là cạnh đáy trên (2 m) Thay các giá trị vào công thức: \[ h = \sqrt{3^2 - \left(\frac{5 - 2}{2}\right)^2} = \sqrt{9 - \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{9 - 2.25} = \sqrt{6.75} \approx 2.6 \text{ m} \] Bước 3: Tính thể tích của khối chóp cụt Công thức tính thể tích của khối chóp cụt: \[ V = \frac{h}{3} \times (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \times S_2}) \] Thay các giá trị đã tính vào công thức: \[ V = \frac{2.6}{3} \times (25 + 4 + \sqrt{25 \times 4}) = \frac{2.6}{3} \times (25 + 4 + 10) = \frac{2.6}{3} \times 39 = 33.8 \text{ m}^3 \] Bước 4: Tính số tiền mua bê tông tươi Giá tiền bê tông tươi là 1,5 triệu đồng/m³. Vậy số tiền tối thiểu để mua bê tông tươi là: \[ \text{Số tiền} = 33.8 \times 1.5 = 50.7 \text{ triệu đồng} \] Kết luận Số tiền tối thiểu để mua bê tông tươi làm chân tháp là 50.7 triệu đồng. Câu 3. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$ tại điểm có hoành độ $x_0 = -2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc. Thay $x_0 = -2$ vào phương trình hàm số: \[ y_0 = \frac{2(-2) + 1}{-2 + 1} = \frac{-4 + 1}{-1} = \frac{-3}{-1} = 3 \] Vậy điểm tiếp xúc là $(-2, 3)$. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số để tìm hệ số góc của tiếp tuyến. \[ y' = \left( \frac{2x + 1}{x + 1} \right)' = \frac{(2x + 1)'(x + 1) - (2x + 1)(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{2(x + 1) - (2x + 1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x - 1}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2} \] Bước 3: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $x_0 = -2$. \[ y'(-2) = \frac{1}{(-2 + 1)^2} = \frac{1}{(-1)^2} = 1 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là $a = 1$. Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến. Phương trình tiếp tuyến có dạng $y = ax + b$. Thay $a = 1$, điểm tiếp xúc $(-2, 3)$ vào phương trình: \[ 3 = 1 \cdot (-2) + b \] \[ 3 = -2 + b \] \[ b = 5 \] Vậy phương trình tiếp tuyến là $y = x + 5$. Bước 5: Tính giá trị biểu thức $T = 2a - b$. \[ T = 2 \cdot 1 - 5 = 2 - 5 = -3 \] Đáp số: $T = -3$. Câu 4. Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A'C', ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định hình học và tọa độ các điểm: - Hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. - Gọi A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), A'(0, 0, 1), B'(1, 0, 1), C'(1, 1, 1), D'(0, 1, 1). 2. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng: - Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (1, 0, 0)$. - Đường thẳng A'C' có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{A'C'} = (1, 1, 0)$. 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với đường thẳng A'C': - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{A'C'}$. - Tính tích vector: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 1) \] 4. Tìm khoảng cách từ điểm trên đường thẳng AB đến đường thẳng A'C': - Chọn điểm A(0, 0, 0) trên đường thẳng AB. - Chọn điểm A'(0, 0, 1) trên đường thẳng A'C'. - Vectơ $\overrightarrow{AA'} = (0, 0, 1)$. 5. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng là độ dài của hình chiếu của vectơ $\overrightarrow{AA'}$ lên vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$: \[ d = \frac{|\overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} = \frac{|(0, 0, 1) \cdot (0, 0, 1)|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{1}{1} = 1 \] Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A'C' là 1. Câu 5. Để tìm giá trị của biểu thức \( T = a^2 - 1 \), trước tiên chúng ta cần xác định giá trị của \( a \). Hàm số \( y = 2^x - 1 \) có tập giá trị là \( (a; +\infty) \). Ta sẽ tìm giá trị của \( a \) bằng cách xem xét tập giá trị của hàm số \( y = 2^x - 1 \). 1. Xét hàm số \( y = 2^x \): - Hàm số \( y = 2^x \) có tập giá trị là \( (0; +\infty) \) vì \( 2^x > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). 2. Xét hàm số \( y = 2^x - 1 \): - Khi \( 2^x \) có tập giá trị là \( (0; +\infty) \), thì \( 2^x - 1 \) sẽ có tập giá trị là \( (-1; +\infty) \). Do đó, tập giá trị của hàm số \( y = 2^x - 1 \) là \( (-1; +\infty) \). Điều này có nghĩa là \( a = -1 \). Bây giờ, ta tính giá trị của biểu thức \( T = a^2 - 1 \): \[ T = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 \] Vậy giá trị của biểu thức \( T \) là \( 0 \). Đáp số: \( T = 0 \) Câu 6. Đạo hàm của hàm số $y = \sin x$ là $y' = \cos x$. Tại điểm $x = \frac{\pi}{6}$, ta thay vào biểu thức đạo hàm: \[ y' = \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) \] Biết rằng $\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, ta có: \[ y' = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \] Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được: \[ y' \approx 0.87 \] Vậy giá trị đạo hàm của hàm số $y = \sin x$ tại điểm $x = \frac{\pi}{6}$ là 0.87. Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng công thức đã cho để tính số tiền bác Dương thu về sau mỗi kì gửi và so sánh với 180 triệu đồng. Công thức tổng số tiền A nhận được sau N kì gửi: \[ A = P \left(1 + \frac{r}{100n}\right)^N \] Trong đó: - \( P = 100 \) triệu đồng (tiền gốc) - \( r = 5 \% \) (lãi suất hằng năm) - \( n = 2 \) (vì lãi được tính 2 lần trong một năm, tức là mỗi 6 tháng một lần) - \( A > 180 \) triệu đồng (số tiền cần đạt) Thay các giá trị vào công thức: \[ A = 100 \left(1 + \frac{5}{100 \times 2}\right)^N \] \[ A = 100 \left(1 + \frac{5}{200}\right)^N \] \[ A = 100 \left(1 + 0.025\right)^N \] \[ A = 100 \left(1.025\right)^N \] Ta cần tìm giá trị của \( N \) sao cho \( A > 180 \): \[ 100 \left(1.025\right)^N > 180 \] \[ \left(1.025\right)^N > 1.8 \] Bây giờ, chúng ta sẽ thử các giá trị của \( N \) để tìm ra giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên. - Với \( N = 20 \): \[ \left(1.025\right)^{20} \approx 1.6386 \] (không thỏa mãn vì 1.6386 < 1.8) - Với \( N = 25 \): \[ \left(1.025\right)^{25} \approx 1.808 \] (thỏa mãn vì 1.808 > 1.8) Do đó, sau 25 kì gửi (tức là 12.5 năm), số tiền bác Dương thu về sẽ lớn hơn 180 triệu đồng. Đáp số: Sau 12.5 năm. Câu 2. Đầu tiên, ta cần tìm vận tốc tức thời của chất điểm theo thời gian t. Vận tốc tức thời được xác định bằng đạo hàm của phương trình chuyển động S(t). \[ v(t) = \frac{dS(t)}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^4}{12} - \frac{2t^3}{3} + 3t^2 - 2t + 1\right) \] Tính đạo hàm từng hạng tử: \[ v(t) = \frac{4t^3}{12} - \frac{6t^2}{3} + 6t - 2 \] \[ v(t) = \frac{t^3}{3} - 2t^2 + 6t - 2 \] Tiếp theo, ta tìm gia tốc tức thời của chất điểm theo thời gian t. Gia tốc tức thời được xác định bằng đạo hàm của vận tốc tức thời v(t). \[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^3}{3} - 2t^2 + 6t - 2\right) \] Tính đạo hàm từng hạng tử: \[ a(t) = \frac{3t^2}{3} - 4t + 6 \] \[ a(t) = t^2 - 4t + 6 \] Bây giờ, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số gia tốc tức thời \( a(t) = t^2 - 4t + 6 \). Để làm điều này, ta tìm đạo hàm của \( a(t) \) và đặt nó bằng 0 để tìm điểm cực trị. \[ a'(t) = \frac{d}{dt}(t^2 - 4t + 6) \] \[ a'(t) = 2t - 4 \] Đặt \( a'(t) = 0 \): \[ 2t - 4 = 0 \] \[ 2t = 4 \] \[ t = 2 \] Để kiểm tra xem điểm \( t = 2 \) là điểm cực tiểu hay cực đại, ta tính đạo hàm bậc hai của \( a(t) \): \[ a''(t) = \frac{d}{dt}(2t - 4) \] \[ a''(t) = 2 \] Vì \( a''(t) = 2 > 0 \), nên \( t = 2 \) là điểm cực tiểu của hàm số \( a(t) \). Giá trị gia tốc tức thời tại \( t = 2 \) là: \[ a(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 6 \] \[ a(2) = 4 - 8 + 6 \] \[ a(2) = 2 \] Vậy gia tốc tức thời nhỏ nhất của chất điểm trong chuyển động là 2 m/s², đạt được khi \( t = 2 \) giây. Câu 3. a) Ta có diện tích đáy hình chóp S.ABCD là: \[ S_{ABCD} = AB^2 = (2a)^2 = 4a^2 \] Chiều cao SO của hình chóp S.ABCD là \( a\sqrt{2} \). Thể tích khối chóp S.ABCD là: \[ V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SO = \frac{1}{3} \times 4a^2 \times a\sqrt{2} = \frac{4a^3\sqrt{2}}{3} \] b) Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD), ta thực hiện các bước sau: - Xác định diện tích tam giác SCD: \[ S_{SCD} = \frac{1}{2} \times CD \times SO = \frac{1}{2} \times 2a \times a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2} \] - Xác định thể tích khối chóp S.ACD: \[ V_{S.ACD} = \frac{1}{3} \times S_{ACD} \times SO = \frac{1}{3} \times \left( \frac{1}{2} \times AC \times AD \right) \times SO = \frac{1}{3} \times \left( \frac{1}{2} \times 2a \times 2a \right) \times a\sqrt{2} = \frac{1}{3} \times 2a^2 \times a\sqrt{2} = \frac{2a^3\sqrt{2}}{3} \] - Xác định khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD): \[ d(A, (SCD)) = \frac{3 \times V_{S.ACD}}{S_{SCD}} = \frac{3 \times \frac{2a^3\sqrt{2}}{3}}{a^2\sqrt{2}} = \frac{2a^3\sqrt{2}}{a^2\sqrt{2}} = 2a \] Đáp số: a) Thể tích khối chóp S.ABCD là \( \frac{4a^3\sqrt{2}}{3} \) b) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) là \( 2a \)