giúp với ạ

Câu 1. Để xác định hàm số nào trong các lựa chọn là đạo hàm của hàm số \( F(x) = e^{-2x} \), chúng ta sẽ tính đạo hàm của \( F(x) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( F(x) = e^{-2x} \). Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ \( e^{g(x)} \): \[ F'(x) = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x}. \] Bước 2: So sánh kết quả với các lựa chọn đã cho: - \( A.~f_1(x) = \frac{e^{-2x}}{-2} \) - \( B.~f_2(x) = -e^{-2x} \) - \( C.~f_3(x) = 2e^{-2x} \) - \( D.~f_4(x) = -2e^{-2x} \) Nhận thấy rằng \( F'(x) = -2e^{-2x} \) trùng khớp với lựa chọn \( D.~f_4(x) = -2e^{-2x} \). Vậy, hàm số \( F(x) = e^{-2x} \) là nguyên hàm của hàm số \( f_4(x) = -2e^{-2x} \). Đáp án đúng là: D. \( f_4(x) = -2e^{-2x} \). Câu 2. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{k} - \overrightarrow{j}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của các vectơ đơn vị: - Vectơ đơn vị $\overrightarrow{i}$ có tọa độ $(1, 0, 0)$. - Vectơ đơn vị $\overrightarrow{j}$ có tọa độ $(0, 1, 0)$. - Vectơ đơn vị $\overrightarrow{k}$ có tọa độ $(0, 0, 1)$. 2. Tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ bằng cách trừ tọa độ của $\overrightarrow{j}$ từ tọa độ của $\overrightarrow{k}$: \[ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{k} - \overrightarrow{j} = (0, 0, 1) - (0, 1, 0) \] 3. Thực hiện phép trừ từng thành phần: \[ \overrightarrow{u} = (0 - 0, 0 - 1, 1 - 0) = (0, -1, 1) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là $(0, -1, 1)$. Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~(0; -1; 1) \] Câu 3. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = x - 1 + \frac{3}{x + 2} \), ta cần đảm bảo rằng mẫu số của phân thức không bằng không. 1. Xét mẫu số của phân thức: \[ x + 2 \neq 0 \] 2. Giải bất phương trình: \[ x \neq -2 \] Vậy tập xác định của hàm số là tất cả các số thực trừ đi giá trị làm mẫu số bằng không, tức là \( x \neq -2 \). Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ \mathbb{R} \setminus \{-2\} \] Đáp án đúng là: \( D.~\mathbb{R}\setminus\{-2\} \). Câu 4. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x$ là: Hàm số $y = \sin x$ có giá trị lớn nhất là 1, đạt được khi $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$, với $k$ là số nguyên. Do đó, đáp án đúng là: C. 1 Đáp số: C. 1 Câu 5. Để xác định các tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) dựa trên giới hạn đã cho, chúng ta sẽ phân tích từng giới hạn: 1. Giới hạn khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -1 \] Điều này cho thấy khi \( x \) tiến đến âm vô cùng, giá trị của \( f(x) \) tiến đến \(-1\). Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là \( y = -1 \). 2. Giới hạn khi \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 \] Điều này cho thấy khi \( x \) tiến đến dương vô cùng, giá trị của \( f(x) \) tiến đến \(1\). Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là \( y = 1 \). Từ hai giới hạn trên, ta thấy rằng đồ thị hàm số \( y = f(x) \) có hai tiệm cận ngang là \( y = -1 \) và \( y = 1 \). Do đó, đáp án đúng là: D. Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là \( y = -1 \) và \( y = 1 \). Câu 6. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng $(P):~2x-y-3=0$ có dạng tổng quát là $Ax + By + Cz + D = 0$. So sánh phương trình này với phương trình tổng quát, ta nhận thấy rằng: \[ A = 2, B = -1, C = 0, D = -3 \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ có dạng $(A, B, C)$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là: \[ \overrightarrow{n} = (2, -1, 0) \] Ta kiểm tra các đáp án đã cho: - Đáp án A: $\overrightarrow{n}_1 = (2, -1)$ (không đúng vì thiếu thành phần z) - Đáp án B: $\overrightarrow{n}_2 = (2, -1, -3)$ (không đúng vì thành phần z không phải là 0) - Đáp án C: $\overrightarrow{n}_3 = (2, -1, 0)$ (đúng) - Đáp án D: $\overrightarrow{n}_4 = (-2, 1, 3)$ (không đúng vì các thành phần không tương ứng) Vậy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là: \[ \boxed{\overrightarrow{n}_3 = (2, -1, 0)} \] Câu 7. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin x \), chúng ta cần tìm một hàm số \( F(x) \) sao cho đạo hàm của nó là \( \sin x \). Ta xét từng đáp án: A. \( F_1(x) = \sin x \) - Ta tính đạo hàm của \( F_1(x) \): \[ F'_1(x) = \cos x \] Như vậy, \( F_1(x) \) không phải là nguyên hàm của \( f(x) = \sin x \). B. \( F_2(x) = -\sin x \) - Ta tính đạo hàm của \( F_2(x) \): \[ F'_2(x) = -\cos x \] Như vậy, \( F_2(x) \) không phải là nguyên hàm của \( f(x) = \sin x \). C. \( F_3(x) = \cos x \) - Ta tính đạo hàm của \( F_3(x) \): \[ F'_3(x) = -\sin x \] Như vậy, \( F_3(x) \) không phải là nguyên hàm của \( f(x) = \sin x \). D. \( F_4(x) = -\cos x \) - Ta tính đạo hàm của \( F_4(x) \): \[ F'_4(x) = \sin x \] Như vậy, \( F_4(x) \) là nguyên hàm của \( f(x) = \sin x \). Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~F_4(x) = -\cos x} \] Câu 8. Phương trình mặt cầu có tâm $I(a,b,c)$ và bán kính $R$ là $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$. Trong bài này, tâm mặt cầu là $I(2,1,-3)$ và bán kính là 9. Do đó, phương trình mặt cầu sẽ là: \[ (x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+3)^2 = 9^2 \] \[ (x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+3)^2 = 81 \] Vậy phương án đúng là: \[ A.~(x-2)^2+(y-1)^2+(z+3)^2=81. \] Câu 9. Khoảng cách từ điểm $M(x_0; y_0; z_0)$ đến mặt phẳng $(P): ax + by + cz + d = 0$ được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Ta sẽ kiểm tra từng đáp án để xác định đáp án đúng: A. $\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$: Đáp án này sai vì nó thiếu thành phần $z_0$ và $d$, đồng thời mẫu số cũng không đúng. B. $\frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$: Đáp án này đúng vì nó bao gồm tất cả các thành phần cần thiết trong công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. C. $\frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}$: Đáp án này sai vì mẫu số và tử số bị đảo ngược. D. $\frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{a^2 + b^2 + c^2}$: Đáp án này sai vì mẫu số không phải là căn bậc hai của tổng bình phương các hệ số. Vậy đáp án đúng là B. $\frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$. Câu 10. Để tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu. Từ bảng dữ liệu, ta thấy: - Nhóm có giá trị nhỏ nhất là "[155; 160)" với tần số là 2. - Nhóm có giá trị lớn nhất là "[175; 180)" với tần số là 1. Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 155 cm (giá trị dưới cùng của nhóm đầu tiên). Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 180 cm (giá trị trên cùng của nhóm cuối cùng). Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: \[ 180 - 155 = 25 \text{ cm} \] Vậy đáp án đúng là: A. 25 cm.