Câu 10.
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng và , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định khoảng tích phân:
- Ta thấy rằng hàm số liên tục và không âm trên đoạn . Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số này, trục hoành và hai đường thẳng và sẽ được tính bằng tích phân từ đến của hàm số .
2. Tính diện tích hình phẳng:
- Diện tích hình phẳng (H) được tính bằng công thức:
3. Áp dụng công thức tích phân:
- Để tính tích phân , ta cần biết cụ thể hàm số . Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta giả sử rằng hàm số đã được cho và ta có thể tính tích phân của nó.
4. Kết luận:
- Diện tích hình phẳng (H) là:
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng và là:
Câu 2.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .
2. Xác định thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi phần giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , quay quanh trục Ox.
Bước 1: Xác định đường tiệm cận ngang
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng sao cho:
Trong hình vẽ, ta thấy rằng khi tiến đến vô cùng hoặc âm vô cùng, giá trị của tiến đến . Do đó, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:
Bước 2: Xác định thể tích của khối tròn xoay
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi phần giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , quay quanh trục Ox được tính bằng công thức:
Trong câu hỏi, phần giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay. Do đó, thể tích của khối tròn xoay là:
Kết luận
Đáp án đúng là:
Câu 3.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm nguyên hàm của hàm số .
Bước 1: Tìm nguyên hàm của .
Nguyên hàm của là:
Trong đó, là hằng số nguyên hàm.
Bước 2: Xác định hàm số .
Hàm số là một nguyên hàm của , do đó:
Bước 3: Kết luận.
Phát biểu đúng là:
Đáp án: .
Câu 11.
Độ lệch chuẩn của một mẫu số liệu là căn bậc hai của phương sai của mẫu số liệu đó.
Phương sai của mẫu số liệu đã cho là 16.
Do đó, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó là:
Vậy đáp án đúng là:
A. 4
Đáp án: A. 4
Câu 12.
Để giải quyết bài toán về chỉ số pH của một dung dịch, chúng ta cần biết công thức tính pH. Công thức này thường được cho dưới dạng:
Trong đó, là nồng độ của ion hydroxyl tự do trong dung dịch.
Bây giờ, chúng ta sẽ đi qua từng bước để giải quyết bài toán:
1. Xác định nồng độ của ion hydroxyl tự do :
- Đầu tiên, chúng ta cần biết nồng độ của ion hydroxyl tự do trong dung dịch. Điều này thường được cung cấp trong đề bài hoặc có thể tính toán từ các thông tin khác liên quan đến dung dịch.
2. Áp dụng công thức pH:
- Sau khi đã biết nồng độ của ion hydroxyl tự do, chúng ta áp dụng công thức pH:
3. Tính toán giá trị pH:
- Thay nồng độ của ion hydroxyl tự do vào công thức và thực hiện phép tính logarit để tìm giá trị pH.
Ví dụ cụ thể:
Giả sử nồng độ của ion hydroxyl tự do trong dung dịch là .
- Áp dụng công thức:
- Thực hiện phép tính logarit:
Vậy, chỉ số pH của dung dịch là 4.
Kết luận: Chỉ số pH của dung dịch là 4, đạt được khi nồng độ của ion hydroxyl tự do là .
Câu 4.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định phương trình tổng quát của mặt phẳng
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng:
Trong đó, , , và là các hằng số.
Bước 2: Kiểm tra các phương trình đã cho
Ta kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình tổng quát của mặt phẳng:
- Phương trình :
- Đây không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng vì có .
- Phương trình :
- Đây không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng vì có .
- Phương trình :
- Đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng vì nó có dạng .
- Phương trình :
- Đây không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng vì có .
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng là:
Bước 3: Tính độ pH của sữa
Độ pH của một loại sữa được tính theo công thức:
Trong đó, là nồng độ ion hydrogen.
- Nồng độ ion hydrogen của sữa là .
Áp dụng công thức:
Kết luận
Phương trình tổng quát của mặt phẳng là:
Độ pH của sữa là:
Đáp án đúng là:
Câu 5.
Phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có dạng:
trong đó là tọa độ một điểm trên đường thẳng và là các số chỉ phương của đường thẳng.
Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định xem nó có phải là phương trình chính tắc của đường thẳng hay không.
1. Phương trình :
- Đây là phương trình chính tắc vì nó có dạng với và .
2. Phương trình :
- Đây không phải là phương trình chính tắc vì mẫu số của bằng 0, điều này không hợp lý trong phương trình chính tắc.
3. Phương trình :
- Đây là phương trình chính tắc vì nó có dạng với và .
4. Phương trình :
- Đây không phải là phương trình chính tắc vì mẫu số của bằng 0, điều này không hợp lý trong phương trình chính tắc.
Kết luận:
- Phương trình là phương trình chính tắc.
- Phương trình không phải là phương trình chính tắc.
- Phương trình là phương trình chính tắc.
- Phương trình không phải là phương trình chính tắc.
Câu 1.
Để xác định đường thẳng nào trong các lựa chọn A, B, C, D có vectơ chỉ phương là (1; 2; 3), ta cần kiểm tra xem vectơ này có cùng hướng hoặc ngược hướng với vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng đã cho hay không.
Kiểm tra từng đường thẳng:
Đường thẳng A:
Phương trình:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng A là
Ta thấy vectơ không cùng hướng hoặc ngược hướng với vectơ vì không tồn tại số thực sao cho .
Đường thẳng B:
Phương trình:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng B là
Ta thấy vectơ không cùng hướng hoặc ngược hướng với vectơ vì không tồn tại số thực sao cho .
Đường thẳng C:
Phương trình:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng C là
Ta thấy vectơ không cùng hướng hoặc ngược hướng với vectơ vì không tồn tại số thực sao cho .
Đường thẳng D:
Phương trình:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng D là
Ta thấy vectơ không cùng hướng hoặc ngược hướng với vectơ vì không tồn tại số thực sao cho .
Kết luận:
Không có đường thẳng nào trong các lựa chọn A, B, C, D có vectơ chỉ phương là (1; 2; 3).
Câu 6.
Phương trình mặt cầu có dạng , trong đó là tâm của mặt cầu và là bán kính.
Ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình mặt cầu:
A.
- Đây không phải là phương trình mặt cầu vì không có dạng .
B.
- Đây không phải là phương trình mặt cầu vì không có dạng .
C.
- Đây không phải là phương trình mặt cầu vì có dấu trừ ở .
D.
- Đây là phương trình mặt cầu với tâm và bán kính .
Vậy phương trình mặt cầu là:
Đáp án đúng là: D.
Câu 7.
Phát biểu đúng là:
B. Nếu thì
Lập luận từng bước:
1. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra:
- Theo định nghĩa, xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được kí hiệu là .
- Công thức tính xác suất này là:
- Điều kiện để công thức này có ý nghĩa là .
2. Kiểm tra các phát biểu:
- Phát biểu A: Nếu thì . Đây là phát biểu sai vì theo định nghĩa, ta phải chia cho chứ không phải .
- Phát biểu B: Nếu thì . Đây là phát biểu đúng vì nó đúng với định nghĩa xác suất điều kiện.
Do đó, phát biểu đúng là B.
Câu 2.
Để giải quyết yêu cầu của bạn, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
a) Đạo hàm của hàm số đã cho
Hàm số đã cho là:
Ta tính đạo hàm của hàm số này:
b) Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
Để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số, ta cần tìm các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0:
Từ đó, ta có hai nghiệm:
Tiếp theo, ta xét dấu của đạo hàm trên các khoảng được xác định bởi các điểm cực trị:
- Trên khoảng :
Chọn :
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .
- Trên khoảng :
Chọn :
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .
- Trên khoảng :
Chọn :
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .
Tóm lại:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng và .
- Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Kết luận
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là:
b) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng và , và nghịch biến trên khoảng .
Câu 8.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần xác định khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm dựa trên bảng biến thiên của hàm số đã cho.
Trước tiên, chúng ta cần hiểu rằng khoảng biến thiên của một mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các nhóm.
Bảng biến thiên của hàm số đã cho:
Từ bảng này, chúng ta thấy rằng các nhóm được xác định bởi các khoảng và . Để tìm khoảng biến thiên, chúng ta cần xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các nhóm này.
Giá trị nhỏ nhất trong các nhóm là (từ nhóm ).
Giá trị lớn nhất trong các nhóm là (từ nhóm ).
Do đó, khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:
Tuy nhiên, trong các lựa chọn được đưa ra, chúng ta thấy rằng:
- A.
- B.
- C.
- D.
Trong các lựa chọn này, không có lựa chọn nào đúng với khoảng biến thiên . Do đó, chúng ta cần kiểm tra lại các thông tin đã cho để đảm bảo rằng chúng ta đã hiểu đúng vấn đề.
Nếu chúng ta giả sử rằng là giá trị lớn nhất và là giá trị nhỏ nhất trong các nhóm, thì khoảng biến thiên sẽ là:
Vì vậy, đáp án đúng là:
Đáp án: B.
Câu 9.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng cách lấy tứ phân vị thứ ba () trừ đi tứ phân vị thứ nhất ().
Cụ thể, khoảng tứ phân vị được tính như sau:
Vậy, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: