Cứuuuu e ạaaa

Câu 2. Để tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$: Đường thẳng $\Delta$ có phương trình: \[ \frac{x-22}{-5} = \frac{y-28}{-7} = \frac{z+16}{5} \] Ta đặt tham số $t$, ta có: \[ x = 22 - 5t, \quad y = 28 - 7t, \quad z = -16 + 5t \] 2. Thay tọa độ của điểm trên đường thẳng vào phương trình mặt phẳng $(\alpha)$: Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình: \[ 4x - 6y + 5z + 19 = 0 \] Thay $x = 22 - 5t$, $y = 28 - 7t$, $z = -16 + 5t$ vào phương trình mặt phẳng: \[ 4(22 - 5t) - 6(28 - 7t) + 5(-16 + 5t) + 19 = 0 \] 3. Giải phương trình để tìm giá trị của $t$: \[ 4(22 - 5t) - 6(28 - 7t) + 5(-16 + 5t) + 19 = 0 \] \[ 88 - 20t - 168 + 42t - 80 + 25t + 19 = 0 \] \[ 88 - 168 - 80 + 19 + (-20t + 42t + 25t) = 0 \] \[ -141 + 47t = 0 \] \[ 47t = 141 \] \[ t = 3 \] 4. Tìm tọa độ giao điểm $H(a; b; c)$: Thay $t = 3$ vào phương trình tham số của đường thẳng: \[ x = 22 - 5 \cdot 3 = 22 - 15 = 7 \] \[ y = 28 - 7 \cdot 3 = 28 - 21 = 7 \] \[ z = -16 + 5 \cdot 3 = -16 + 15 = -1 \] Vậy tọa độ giao điểm là $H(7; 7; -1)$. 5. Tính $P = a + b + c$: \[ P = 7 + 7 - 1 = 13 \] Đáp số: $P = 13$. Câu 3. Gọi A là biến cố "người mua sơn mủ", B là biến cố "người mua sơn nước", C là biến cố "người mua con lăn". Biết rằng: - Trong số những người đến mua sơn mủ, 60% cũng mua con lăn, tức là P(C|A) = 0,6. - Chỉ có 30% những người mua sơn nước mua con lăn, tức là P(C|B) = 0,3. - Trong những người mua con lăn có 14% người mua sơn mủ, tức là P(A|C) = 0,14. Áp dụng công thức xác suất điều kiện, ta có: \[ P(C|A) = \frac{P(A \cap C)}{P(A)} \] \[ P(C|B) = \frac{P(B \cap C)}{P(B)} \] Từ đây suy ra: \[ P(A \cap C) = P(C|A) \cdot P(A) = 0,6 \cdot P(A) \] \[ P(B \cap C) = P(C|B) \cdot P(B) = 0,3 \cdot P(B) \] Biết rằng: \[ P(A|C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)} = 0,14 \] Do đó: \[ P(C) = \frac{P(A \cap C)}{0,14} = \frac{0,6 \cdot P(A)}{0,14} = \frac{6 \cdot P(A)}{1,4} = \frac{3 \cdot P(A)}{0,7} \] Ta cũng biết rằng: \[ P(C) = P(A \cap C) + P(B \cap C) \] \[ P(C) = 0,6 \cdot P(A) + 0,3 \cdot P(B) \] Thay vào: \[ \frac{3 \cdot P(A)}{0,7} = 0,6 \cdot P(A) + 0,3 \cdot P(B) \] Chuyển vế và nhân cả hai vế với 0,7: \[ 3 \cdot P(A) = 0,42 \cdot P(A) + 0,21 \cdot P(B) \] \[ 3 \cdot P(A) - 0,42 \cdot P(A) = 0,21 \cdot P(B) \] \[ 2,58 \cdot P(A) = 0,21 \cdot P(B) \] \[ P(B) = \frac{2,58 \cdot P(A)}{0,21} = \frac{258 \cdot P(A)}{21} = \frac{86 \cdot P(A)}{7} \] Biết rằng tổng xác suất của tất cả các biến cố là 1: \[ P(A) + P(B) = 1 \] \[ P(A) + \frac{86 \cdot P(A)}{7} = 1 \] \[ \frac{7 \cdot P(A) + 86 \cdot P(A)}{7} = 1 \] \[ \frac{93 \cdot P(A)}{7} = 1 \] \[ 93 \cdot P(A) = 7 \] \[ P(A) = \frac{7}{93} \approx 0,0752688 \] Làm tròn đến hàng phần trăm: \[ P(A) \approx 0,08 \] Vậy xác suất người đó mua sơn mủ là khoảng 0,08 hoặc 8%. Câu 4. Để xác định quãng đường mà máy bay nhận được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu, ta cần tìm khoảng cách từ máy bay đến đài kiểm soát không lưu và so sánh với bán kính phát hiện của đài kiểm soát không lưu. Bước 1: Xác định tọa độ của máy bay theo thời gian \( t \): \[ P(t) = (-1000 + 100t, -200 + 80t, 10) \] Bước 2: Tính khoảng cách từ máy bay đến đài kiểm soát không lưu: \[ d(P,O) = \sqrt{(x_P - x_O)^2 + (y_P - y_O)^2 + (z_P - z_O)^2} \] \[ d(P,O) = \sqrt{(-1000 + 100t)^2 + (-200 + 80t)^2 + 10^2} \] Bước 3: Đặt khoảng cách này bằng 600 km để tìm thời điểm \( t \) khi máy bay vào trong phạm vi phát hiện của đài kiểm soát không lưu: \[ \sqrt{(-1000 + 100t)^2 + (-200 + 80t)^2 + 10^2} = 600 \] \[ (-1000 + 100t)^2 + (-200 + 80t)^2 + 10^2 = 600^2 \] \[ (-1000 + 100t)^2 + (-200 + 80t)^2 + 100 = 360000 \] \[ (-1000 + 100t)^2 + (-200 + 80t)^2 = 359900 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai: \[ (1000 - 100t)^2 + (200 - 80t)^2 = 359900 \] \[ 1000000 - 200000t + 10000t^2 + 40000 - 32000t + 6400t^2 = 359900 \] \[ 106400t^2 - 232000t + 1040000 = 359900 \] \[ 106400t^2 - 232000t + 680100 = 0 \] Bước 5: Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ a = 106400, b = -232000, c = 680100 \] \[ t = \frac{232000 \pm \sqrt{232000^2 - 4 \cdot 106400 \cdot 680100}}{2 \cdot 106400} \] \[ t = \frac{232000 \pm \sqrt{53824000000 - 288128000000}}{212800} \] \[ t = \frac{232000 \pm \sqrt{234016000000}}{212800} \] \[ t = \frac{232000 \pm 483760}{212800} \] Bước 6: Tìm nghiệm: \[ t_1 = \frac{232000 + 483760}{212800} = \frac{715760}{212800} \approx 3.36 \] \[ t_2 = \frac{232000 - 483760}{212800} = \frac{-251760}{212800} \approx -1.18 \] Bước 7: Chọn nghiệm dương vì thời gian không thể âm: \[ t = 3.36 \] Bước 8: Tính quãng đường máy bay đã đi: \[ s = 100t = 100 \times 3.36 = 336 \text{ km} \] Vậy quãng đường mà máy bay nhận được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu là 336 km. Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình đường thẳng AB: - Tìm vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (-200 + 500; -200 + 250; 100 - 150) = (300; 50; -50)$. - Phương trình tham số của đường thẳng AB: \[ \begin{cases} x = -500 + 300t \\ y = -250 + 50t \\ z = 150 - 50t \end{cases} \] 2. Tìm điểm M trên đường thẳng AB gần O nhất: - Gọi M có tọa độ $(x_M; y_M; z_M)$. - Vectơ $\overrightarrow{OM} = (x_M; y_M; z_M)$. - Để OM vuông góc với AB, ta có: \[ \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \] Thay vào: \[ (x_M; y_M; z_M) \cdot (300; 50; -50) = 0 \] \[ 300x_M + 50y_M - 50z_M = 0 \] Thay phương trình tham số của M vào: \[ 300(-500 + 300t) + 50(-250 + 50t) - 50(150 - 50t) = 0 \] \[ 300(-500 + 300t) + 50(-250 + 50t) - 50(150 - 50t) = 0 \] \[ -150000 + 90000t - 12500 + 2500t - 7500 + 2500t = 0 \] \[ -160000 + 115000t = 0 \] \[ 115000t = 160000 \] \[ t = \frac{160000}{115000} = \frac{32}{23} \] 3. Tìm tọa độ của điểm M: - Thay $t = \frac{32}{23}$ vào phương trình tham số: \[ x_M = -500 + 300 \left(\frac{32}{23}\right) = -500 + \frac{9600}{23} = \frac{-11500 + 9600}{23} = \frac{-1900}{23} \approx -82.61 \] \[ y_M = -250 + 50 \left(\frac{32}{23}\right) = -250 + \frac{1600}{23} = \frac{-5750 + 1600}{23} = \frac{-4150}{23} \approx -179.57 \] \[ z_M = 150 - 50 \left(\frac{32}{23}\right) = 150 - \frac{1600}{23} = \frac{3450 - 1600}{23} = \frac{1850}{23} \approx 80.43 \] 4. Tính giá trị của biểu thức $-3a - b - c$: - Với $a = -82.61$, $b = -179.57$, $c = 80.43$: \[ -3a - b - c = -3(-82.61) - (-179.57) - 80.43 \] \[ = 247.83 + 179.57 - 80.43 \] \[ = 347.4 \] Vậy giá trị của biểu thức $-3a - b - c$ là $\boxed{347}$. Câu 6. Mặt phẳng $(\gamma)$ đi qua điểm $E(-1;0;-2)$ và song song với $(\alpha)$ có phương trình dạng $4x+ay+bz+c=0$. Do $(\gamma)$ song song với $(\alpha)$ nên chúng có cùng véctơ pháp tuyến $\vec{n} = (4, 5, 1)$. Vì vậy, phương trình của $(\gamma)$ sẽ có dạng: \[ 4x + 5y + z + d = 0 \] Thay tọa độ điểm $E(-1;0;-2)$ vào phương trình trên để tìm $d$: \[ 4(-1) + 5(0) + (-2) + d = 0 \] \[ -4 - 2 + d = 0 \] \[ d = 6 \] Vậy phương trình của mặt phẳng $(\gamma)$ là: \[ 4x + 5y + z + 6 = 0 \] So sánh với phương trình ban đầu $4x + ay + bz + c = 0$, ta có: \[ a = 5, \quad b = 1, \quad c = 6 \] Tính $a + b + c$: \[ a + b + c = 5 + 1 + 6 = 12 \] Đáp số: $a + b + c = 12$.