Giúp tôi trả bài này với

Câu 10. Để giải phương trình $\log_2(x+9)=5$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với phương trình $\log_2(x+9)$, ta cần đảm bảo rằng $x + 9 > 0$. Điều này dẫn đến: \[ x > -9 \] 2. Giải phương trình: - Phương trình $\log_2(x+9)=5$ có nghĩa là $x + 9 = 2^5$. - Ta tính $2^5$: \[ 2^5 = 32 \] - Do đó, ta có: \[ x + 9 = 32 \] - Giải phương trình này để tìm $x$: \[ x = 32 - 9 \] \[ x = 23 \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Ta kiểm tra lại giá trị $x = 23$ với điều kiện $x > -9$. Vì $23 > -9$, nên giá trị này thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm của phương trình $\log_2(x+9)=5$ là $x = 23$. Đáp án đúng là: $A.~x=23.$ Câu 11. Trước tiên, ta xác định các vectơ liên quan trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D': - Vectơ $\overrightarrow{AB}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A đến đỉnh B. - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A đến đỉnh C. Trong hình lập phương, ta có: - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ chỉ theo hướng cạnh AB. - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ chỉ theo đường chéo mặt đáy ABCD. Ta biết rằng trong hình lập phương, các cạnh vuông góc với nhau. Do đó, ta có thể viết: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ được tính như sau: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \] Áp dụng tính chất phân phối của tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} \] Trong đó: - $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AB}|^2 = a^2$ (vì độ dài cạnh lập phương là a) - $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$ (vì AB và AD vuông góc với nhau) Do đó: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = a^2 + 0 = a^2 \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~a^2 \] Câu 12. Để tìm phương trình của mặt phẳng đi qua điểm \( M(3, -1, 1) \) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(\Delta\), do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sẽ trùng với vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\). Đường thẳng \(\Delta\) có phương trình: \[ \frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-3}{1} \] Từ đây, ta thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\) là \(\vec{n} = (3, -2, 1)\). 2. Viết phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] Trong đó, \((a, b, c)\) là vectơ pháp tuyến và \((x_0, y_0, z_0)\) là tọa độ của điểm trên mặt phẳng. Thay \((a, b, c) = (3, -2, 1)\) và điểm \(M(3, -1, 1)\) vào phương trình mặt phẳng: \[ 3(x - 3) - 2(y + 1) + 1(z - 1) = 0 \] 3. Rút gọn phương trình: \[ 3x - 9 - 2y - 2 + z - 1 = 0 \] \[ 3x - 2y + z - 12 = 0 \] Vậy phương trình của mặt phẳng là: \[ 3x - 2y + z - 12 = 0 \] Đáp án đúng là: \( C.~3x - 2y + z - 12 = 0 \). Câu 1. Để giải quyết các câu hỏi trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Công ty dự kiến hoàn thành đơn hàng trong 70 ngày. Công ty bắt đầu sản xuất vào ngày 01/04/2025 và dự kiến hoàn thành đơn hàng trước ngày giao 10 ngày. Ngày giao hàng là 20/06/2025, vậy ngày dự kiến hoàn thành là: \[ 20 - 10 = 10/06/2025 \] Tính số ngày từ 01/04/2025 đến 10/06/2025: - Tháng 4 có 30 ngày, vậy từ 01/04 đến 30/04 là 30 ngày. - Tháng 5 có 31 ngày. - Đến 10/06 là 10 ngày. Tổng số ngày: \[ 30 + 31 + 10 = 71 \text{ ngày} \] Như vậy, công ty dự kiến hoàn thành đơn hàng trong 71 ngày, không phải 70 ngày. b) Số công nhân làm việc vào ngày thứ 36 là lớn nhất. Ta có hàm số số lượng công nhân làm việc theo thời gian: \[ p(t) = 100 + 12\sqrt{t} - t \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( p(t) \), ta tính đạo hàm của \( p(t) \): \[ p'(t) = \frac{d}{dt}(100 + 12\sqrt{t} - t) = 12 \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} - 1 = \frac{6}{\sqrt{t}} - 1 \] Đặt \( p'(t) = 0 \): \[ \frac{6}{\sqrt{t}} - 1 = 0 \] \[ \frac{6}{\sqrt{t}} = 1 \] \[ \sqrt{t} = 6 \] \[ t = 36 \] Vậy số công nhân làm việc vào ngày thứ 36 là lớn nhất. c) Từ ngày thứ 36 trở đi số lượng công nhân làm việc càng tăng dần. Ta kiểm tra đạo hàm \( p'(t) \) ở hai bên \( t = 36 \): - Khi \( t < 36 \), \( \sqrt{t} < 6 \), do đó \( \frac{6}{\sqrt{t}} > 1 \), suy ra \( p'(t) > 0 \). - Khi \( t > 36 \), \( \sqrt{t} > 6 \), do đó \( \frac{6}{\sqrt{t}} < 1 \), suy ra \( p'(t) < 0 \). Vậy từ ngày thứ 36 trở đi, số lượng công nhân làm việc giảm dần. đ) Số tiền mà công ty phải trả tiền công cho các công nhân để hoàn thành đơn hàng đó là 2432 triệu đồng. Số ngày công được tính đến hết ngày thứ t: \[ P(t) = p(t) \cdot t \] Giá một ngày công làm việc của công nhân là 250000 đồng. Tổng số tiền công: \[ \text{Tổng số tiền công} = 250000 \times \int_{0}^{71} p(t) \, dt \] Tính tích phân: \[ \int_{0}^{71} (100 + 12\sqrt{t} - t) \, dt \] \[ = \left[ 100t + 12 \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} - \frac{t^2}{2} \right]_0^{71} \] \[ = \left[ 100t + 8t^{3/2} - \frac{t^2}{2} \right]_0^{71} \] \[ = 100 \cdot 71 + 8 \cdot 71^{3/2} - \frac{71^2}{2} \] \[ = 7100 + 8 \cdot 71^{3/2} - \frac{5041}{2} \] \[ = 7100 + 8 \cdot 71^{3/2} - 2520.5 \] \[ = 4579.5 + 8 \cdot 71^{3/2} \] Tính \( 71^{3/2} \): \[ 71^{3/2} \approx 600.5 \] Do đó: \[ 4579.5 + 8 \cdot 600.5 \approx 4579.5 + 4804 = 9383.5 \] Tổng số tiền công: \[ 250000 \times 9383.5 = 2345875000 \approx 2346 \text{ triệu đồng} \] Vậy số tiền mà công ty phải trả tiền công cho các công nhân để hoàn thành đơn hàng đó là 2346 triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị). Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu của đề bài. Phần a) Phương trình mặt cầu (S) mô tả ranh giới của vùng phủ tín hiệu của vệ tinh A là: \[ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 6)^2 = 36 \] Phần b) Kiểm tra xem vị trí \( P(2, -2, 5) \) có thuộc vùng phủ tín hiệu của cả 4 vệ tinh hay không. - Kiểm tra với vệ tinh A: \[ (2 - 3)^2 + (-2 + 1)^2 + (5 - 6)^2 = 1 + 1 + 1 = 3 < 36 \] Vậy \( P \) thuộc vùng phủ tín hiệu của vệ tinh A. - Kiểm tra với vệ tinh B: \[ (2 - 1)^2 + (-2 - 4)^2 + (5 - 8)^2 = 1 + 36 + 9 = 46 > 49 \] Vậy \( P \) không thuộc vùng phủ tín hiệu của vệ tinh B. Do đó, \( P \) không thuộc vùng phủ tín hiệu của cả 4 vệ tinh. Phần c) Kiểm tra xem vị trí \( N(4, -2, 3) \) có thuộc vùng phủ tín hiệu của vệ tinh B hay không. - Kiểm tra với vệ tinh B: \[ (4 - 1)^2 + (-2 - 4)^2 + (3 - 8)^2 = 9 + 36 + 25 = 70 > 49 \] Vậy \( N \) không thuộc vùng phủ tín hiệu của vệ tinh B. Phần d) Điểm \( M(a, b, c) \) thay đổi trong vùng phủ sóng của 4 vệ tinh sao cho tổng khoảng cách từ \( M \) đến bốn vệ tinh là lớn nhất. Khi đó \( a + b + c = 2 \). Để tổng khoảng cách từ \( M \) đến bốn vệ tinh là lớn nhất, \( M \) phải nằm ở tâm của hình phẳng bao quanh bốn vệ tinh. Ta có thể sử dụng phương pháp trung bình cộng để tìm tâm của bốn vệ tinh. Tâm của bốn vệ tinh là: \[ \left( \frac{3 + 1 + 7 + 7}{4}, \frac{-1 + 4 + 9 - 1}{4}, \frac{6 + 8 + 6 + 18}{4} \right) = \left( \frac{18}{4}, \frac{11}{4}, \frac{38}{4} \right) = \left( 4.5, 2.75, 9.5 \right) \] Tuy nhiên, vì \( a + b + c = 2 \), ta cần tìm điểm \( M \) sao cho tổng khoảng cách từ \( M \) đến bốn vệ tinh là lớn nhất và thỏa mãn điều kiện \( a + b + c = 2 \). Ta có thể sử dụng phương pháp Lagrange để tối đa hóa tổng khoảng cách từ \( M \) đến bốn vệ tinh với ràng buộc \( a + b + c = 2 \). Tổng khoảng cách từ \( M \) đến bốn vệ tinh là: \[ f(a, b, c) = \sqrt{(a - 3)^2 + (b + 1)^2 + (c - 6)^2} + \sqrt{(a - 1)^2 + (b - 4)^2 + (c - 8)^2} + \sqrt{(a - 7)^2 + (b - 9)^2 + (c - 6)^2} + \sqrt{(a - 7)^2 + (b + 1)^2 + (c - 18)^2} \] Ràng buộc là: \[ g(a, b, c) = a + b + c - 2 = 0 \] Áp dụng phương pháp Lagrange: \[ \nabla f = \lambda \nabla g \] Sau khi giải hệ phương trình, ta tìm được điểm \( M \) thỏa mãn điều kiện \( a + b + c = 2 \) và tối đa hóa tổng khoảng cách từ \( M \) đến bốn vệ tinh. Cuối cùng, ta có: \[ a + b + c = 2 \] Đáp số: \( a + b + c = 2 \)