giải giúp mình

Câu 2: Để xác định tính đúng/sai của các mệnh đề, ta sẽ tính xác suất của các biến cố liên quan. a) Biến cố A: "Rút được thẻ đánh số chia hết cho 2". Các số chia hết cho 2 trong khoảng từ 1 đến 20 là: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Có tổng cộng 10 số chia hết cho 2. Xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{số trường hợp khả năng}} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \] Vậy mệnh đề a) đúng. b) Biến cố B: "Rút được thẻ đánh số chia hết cho 3". Các số chia hết cho 3 trong khoảng từ 1 đến 20 là: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Có tổng cộng 6 số chia hết cho 3. Xác suất của biến cố B là: \[ P(B) = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{số trường hợp khả năng}} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \] Vậy mệnh đề b) đúng. c) Biến cố AB: "Rút được thẻ đánh số chia hết cho cả 2 và 3". Các số chia hết cho cả 2 và 3 trong khoảng từ 1 đến 20 là: 6, 12, 18. Có tổng cộng 3 số chia hết cho cả 2 và 3. Xác suất của biến cố AB là: \[ P(AB) = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{số trường hợp khả năng}} = \frac{3}{20} \] Vậy mệnh đề c) đúng. d) Biến cố "Rút được thẻ mang số chia hết cho 2 hoặc 3". Sử dụng công thức xác suất của biến cố "A hoặc B": \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \] Thay các giá trị đã tính vào: \[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{10} - \frac{3}{20} \] Quy đồng mẫu số: \[ P(A \cup B) = \frac{10}{20} + \frac{6}{20} - \frac{3}{20} = \frac{13}{20} \] Vậy xác suất để rút được thẻ mang số chia hết cho 2 hoặc 3 là \(\frac{13}{20}\), không phải \(\frac{13}{18}\). Vậy mệnh đề d) sai. Kết luận: - Mệnh đề a) đúng. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) đúng. - Mệnh đề d) sai. Câu 3: a) Đúng. Vì cơ số của hàm số $y=\log_2x$ là 2, lớn hơn 1, nên hàm số này đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$. b) Sai. Ta xét hàm số $y=\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2x-1}\right)$. - Hàm số $u = \frac{1}{2x-1}$ là hàm nghịch biến trên khoảng $(\frac{1}{2}; +\infty)$ vì khi $x$ tăng thì $2x - 1$ tăng, do đó $\frac{1}{2x-1}$ giảm. - Cơ số của hàm số $y=\log_{\frac{1}{2}}u$ là $\frac{1}{2}$, nhỏ hơn 1, nên hàm số này nghịch biến theo $u$. - Kết hợp lại, hàm số $y=\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2x-1}\right)$ sẽ đồng biến trên khoảng $(\frac{1}{2}; +\infty)$. c) Đúng. Đồ thị hàm số $y=\log_2x$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x=1$ vì $\log_2(1) = 0$. d) Ta cần giải phương trình $\log_2x = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2x-1}\right)$: - Đầu tiên, ta viết lại phương trình dưới dạng $\log_2x = \log_{2^{-1}}\left(\frac{1}{2x-1}\right)$. - Điều này tương đương với $\log_2x = -\log_2(2x-1)$. - Nhân cả hai vế với -1 ta có $\log_2x = \log_2(2x-1)$. - Từ đây suy ra $x = 2x - 1$, giải ra ta có $x = 1$. - Kiểm tra điều kiện xác định: $x > 0$ và $2x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}$. Vậy $x = 1$ thỏa mãn điều kiện. Do đó, phương trình có duy nhất một nghiệm là $x = 1$. Kết luận: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai (vì phương trình có duy nhất một nghiệm). Câu 4: a) Đúng vì SA, SB, SC, SD đều là các đoạn thẳng nối đỉnh S với các đỉnh của đáy ABCD, và do SO vuông góc với (ABCD), nên SA = SB = SC = SD. b) Đúng vì góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là góc giữa đường thẳng SO và đường thẳng CD, tức là góc SHO. c) Đúng vì khoảng cách giữa SC và AB bằng khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng AB, và do SO vuông góc với (ABCD), nên khoảng cách này bằng $\frac{2a\sqrt5}{5}$. d) Sai vì thể tích khối chóp S.ABPQ không bằng $\frac{a^3}{3}$, mà bằng $\frac{a^3}{6}$. Lập luận từng bước: - a) Vì SO vuông góc với (ABCD), nên SA = SB = SC = SD. - b) Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là góc giữa đường thẳng SO và đường thẳng CD, tức là góc SHO. - c) Khoảng cách giữa SC và AB bằng khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng AB, và do SO vuông góc với (ABCD), nên khoảng cách này bằng $\frac{2a\sqrt5}{5}$. - d) Sai vì thể tích khối chóp S.ABPQ không bằng $\frac{a^3}{3}$, mà bằng $\frac{a^3}{6}$. Câu 1: Trước tiên, ta xác định góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC). Gọi H là chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC). Vì SA vuông góc với đáy ABC, nên H nằm trên đường thẳng AB. Do đó, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) chính là góc SBH. Bây giờ, ta tính các đoạn thẳng liên quan: - Vì ABC là tam giác vuông cân tại B, nên AB = BC và AC = $\sqrt{2}$. Ta có: \[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \] \[ 2AB^2 = (\sqrt{2})^2 \] \[ 2AB^2 = 2 \] \[ AB^2 = 1 \] \[ AB = 1 \] - Vì SA vuông góc với đáy ABC, nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A. Ta có: \[ SB^2 = SA^2 + AB^2 \] \[ SB^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 \] \[ SB^2 = 3 + 1 \] \[ SB^2 = 4 \] \[ SB = 2 \] - Vì H là chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC), nên tam giác SHB là tam giác vuông tại H. Ta có: \[ SH^2 + HB^2 = SB^2 \] \[ SH^2 + HB^2 = 4 \] - Vì SA vuông góc với đáy ABC, nên tam giác SHA là tam giác vuông tại A. Ta có: \[ SH^2 + HA^2 = SA^2 \] \[ SH^2 + HA^2 = 3 \] - Vì H nằm trên đường thẳng AB, nên ta có: \[ HA + HB = AB \] \[ HA + HB = 1 \] Ta giải hệ phương trình: \[ SH^2 + HA^2 = 3 \] \[ SH^2 + HB^2 = 4 \] \[ HA + HB = 1 \] Từ phương trình thứ ba, ta có: \[ HB = 1 - HA \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ SH^2 + (1 - HA)^2 = 4 \] \[ SH^2 + 1 - 2HA + HA^2 = 4 \] \[ SH^2 + HA^2 - 2HA + 1 = 4 \] \[ SH^2 + HA^2 - 2HA = 3 \] So sánh với phương trình thứ nhất: \[ SH^2 + HA^2 = 3 \] Do đó: \[ -2HA = 0 \] \[ HA = 0 \] Vậy: \[ HB = 1 \] Thay lại vào phương trình: \[ SH^2 + 0^2 = 3 \] \[ SH^2 = 3 \] \[ SH = \sqrt{3} \] Bây giờ, ta tính góc SBH: \[ \sin(SBH) = \frac{SH}{SB} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Vậy góc SBH là: \[ \angle SBH = 60^\circ \] Đáp số: 60° Câu 2: Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x)=-x^4-x^2+6$ vuông góc với đường thẳng $d: y=\frac{1}{6}x-1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện vuông góc - Đường thẳng $d$ có hệ số góc là $\frac{1}{6}$. - Tiếp tuyến vuông góc với $d$ sẽ có hệ số góc là $-\frac{1}{\frac{1}{6}} = -6$. Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số $f(x)$ - $f'(x) = -4x^3 - 2x$ Bước 3: Xác định điểm tiếp xúc - Tại điểm tiếp xúc, đạo hàm của hàm số bằng hệ số góc của tiếp tuyến: \[ f'(x) = -6 \] \[ -4x^3 - 2x = -6 \] \[ 4x^3 + 2x - 6 = 0 \] \[ 2x^3 + x - 3 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình $2x^3 + x - 3 = 0$ - Ta thử nghiệm các giá trị nguyên nhỏ để tìm nghiệm của phương trình này. Thử nghiệm với $x = 1$: \[ 2(1)^3 + 1 - 3 = 2 + 1 - 3 = 0 \] - Vậy $x = 1$ là nghiệm của phương trình. Bước 5: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc - Thay $x = 1$ vào hàm số $f(x)$: \[ f(1) = -(1)^4 - (1)^2 + 6 = -1 - 1 + 6 = 4 \] - Điểm tiếp xúc là $(1, 4)$. Bước 6: Viết phương trình tiếp tuyến - Phương trình tiếp tuyến có dạng $y = ax + b$, với $a = -6$ và đi qua điểm $(1, 4)$: \[ 4 = -6(1) + b \] \[ 4 = -6 + b \] \[ b = 10 \] Bước 7: Tính $a + b$ \[ a + b = -6 + 10 = 4 \] Vậy $a + b = 4$. Câu 3: Để tính xác suất để có ít nhất một người bắn trúng bia, ta có thể sử dụng phương pháp tính xác suất của sự kiện đối lập. Bước 1: Xác định xác suất của các sự kiện liên quan. - Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia là \( P(A) = 0,8 \). - Xác suất người thứ hai bắn trúng bia là \( P(B) = 0,7 \). Bước 2: Xác định xác suất của các sự kiện đối lập. - Xác suất người thứ nhất bắn không trúng bia là \( P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,8 = 0,2 \). - Xác suất người thứ hai bắn không trúng bia là \( P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,7 = 0,3 \). Bước 3: Xác định xác suất cả hai người đều bắn không trúng bia. - Xác suất cả hai người đều bắn không trúng bia là \( P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0,2 \times 0,3 = 0,06 \). Bước 4: Xác định xác suất để có ít nhất một người bắn trúng bia. - Xác suất để có ít nhất một người bắn trúng bia là \( P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,06 = 0,94 \). Vậy xác suất để có ít nhất một người bắn trúng bia là \( 0,94 \).