Cho tam giác A B C ABC vuông tại A A, đường cao A H AH (với H H thuộc B C BC). Đường phân giác của góc A B C ABC cắt A H AH và A C AC lần lượt tại M M và N N. Chứng minh rằng M A ⋅ N A = H M...

Để chứng minh rằng \( MA \cdot NA = HM \cdot HC \), ta sẽ sử dụng tính chất của đường phân giác và đường cao trong tam giác vuông. 1. Xác định các góc và đường thẳng: - Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \). - \( AH \) là đường cao hạ từ \( A \) xuống \( BC \). - \( BMN \) là đường phân giác của góc \( ABC \). 2. Tính chất đường phân giác: - Đường phân giác của một góc chia đôi góc đó thành hai góc bằng nhau. - Do đó, \( \angle ABM = \angle CBM \). 3. Tính chất đường cao trong tam giác vuông: - \( AH \) là đường cao hạ từ đỉnh vuông \( A \) xuống cạnh huyền \( BC \). - \( AH \) tạo ra các tam giác vuông \( AHB \) và \( AHC \). 4. Tính chất tam giác đồng dạng: - Xét tam giác \( AMH \) và tam giác \( ANH \): - \( \angle AMH = \angle ANH \) (cùng bằng \( 90^\circ \)). - \( \angle MAH = \angle NAC \) (góc chung). - Do đó, tam giác \( AMH \) đồng dạng với tam giác \( ANH \) theo tỉ lệ \( \frac{AM}{AN} = \frac{MH}{NH} \). 5. Áp dụng tính chất đường phân giác: - Vì \( BMN \) là đường phân giác của góc \( ABC \), nên \( \frac{AB}{BC} = \frac{AM}{MC} \). 6. Tính chất đường cao và đường phân giác: - Ta có \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \). - Kết hợp với tính chất đồng dạng, ta có \( \frac{AM}{AN} = \frac{MH}{NH} \). 7. Chứng minh \( MA \cdot NA = HM \cdot HC \): - Từ tính chất đồng dạng, ta có \( \frac{AM}{AN} = \frac{MH}{NH} \). - Nhân cả hai vế với \( AN \cdot NH \), ta được \( AM \cdot NH = AN \cdot MH \). - Vì \( NH = HC \) (do \( H \) là điểm chung trên \( AC \)), ta có \( AM \cdot HC = AN \cdot MH \). Do đó, ta đã chứng minh được \( MA \cdot NA = HM \cdot HC \).