Giải hộ mình câu này với các bạn TĐƯỜNG THPT BẠCH ĐẰNG,TRƯỜNG THPT BẠCH ĐÀNG,GV BÙI THỊ HỒNG NHUNG TRƯỜNG THPT BẠCH ĐẢNG,trực thăng cứu hỏa đang tuần tra trên hai hành lang bay cố định,(đường thẳng) được mô tả bởi:,,$d:\frac x1=\frac{y-1}1=\frac z1,~d^\prime:\frac x1=\frac{y-1}1=\frac{z+1}1$,Tại thời điểm phát hiện cháy, hai trực thăng lập tức nhận lệnh di,chuyển từ vị trí hiện tại của chúng, lần lượt là $M\in d$ và $N\in d^\prime,$,đến hai điểm A và B .,$\left\{\begin{array}lx\1+7\-1+7\end{array} ight.$ Tuy nhiên, để duy trì liên lạc với nhau trong môi trường khói,bụi, thì khoảng cách giữa hai trực thăng phải được duy trì cố,định là $\sqrt5$ đơn vị; tức là: $MN=\sqrt5$,Để nhanh chóng đến các địa điểm thì yêu cầu tổng quảng đường,bay của hai trực thăng là $S=AM+BN$ phải nhỏ nhất. Tính $S^2$,$(0,1,-1)$,(1,2,1),$MN^\prime=\frac{\sqrt{39}}2$

Question

Giải hộ mình câu này với các bạn TĐƯỜNG THPT BẠCH ĐẰNG,TRƯỜNG THPT BẠCH ĐÀNG,GV BÙI THỊ HỒNG NHUNG TRƯỜNG THPT BẠCH ĐẢNG,trực thăng cứu hỏa đang tuần tra trên hai hành lang bay cố định,(đường thẳng) được mô tả bởi:,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/f34fea6a86db4bd7b7f90cea56ebfc6e.jpg />,$d:\frac x1=\frac{y-1}1=\frac z1,~d^\prime:\frac x1=\frac{y-1}1=\frac{z+1}1$,Tại thời điểm phát hiện cháy, hai trực thăng lập tức nhận lệnh di,chuyển từ vị trí hiện tại của chúng, lần lượt là $M\in d$ và $N\in d^\prime,$,đến hai điểm A và B .,$\left\{\begin{array}lx\1+7\-1+7\end{array}ight.$ Tuy nhiên, để duy trì liên lạc với nhau trong môi trường khói,bụi, thì khoảng cách giữa hai trực thăng phải được duy trì cố,định là $\sqrt5$ đơn vị; tức là: $MN=\sqrt5$,Để nhanh chóng đến các địa điểm thì yêu cầu tổng quảng đường,bay của hai trực thăng là $S=AM+BN$ phải nhỏ nhất. Tính $S^2$,$(0,1,-1)$,(1,2,1),$MN^\prime=\frac{\sqrt{39}}2$

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ của các điểm M và N trên các đường thẳng d và d&#x27;.
2. Áp dụng điều kiện khoảng cách MN = √5 để tìm mối liên hệ giữa các biến.
3. Xây dựng biểu thức tổng quãng đường bay S = AM + BN.
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của S^2.

Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm M và N

Điểm M thuộc đường thẳng d có dạng:
$$ M = (t, t+1, t) $$

Điểm N thuộc đường thẳng d&#x27; có dạng:
$$ N = (s, s+1, s-1) $$

Bước 2: Áp dụng điều kiện khoảng cách MN = √5

Khoảng cách giữa hai điểm M và N là:
$$ MN = \sqrt{(t-s)^2 + ((t+1)-(s+1))^2 + (t-(s-1))^2} = \sqrt{(t-s)^2 + (t-s)^2 + (t-s+1)^2} $$
$$ MN = \sqrt{2(t-s)^2 + (t-s+1)^2} = \sqrt{2(t-s)^2 + (t-s)^2 + 2(t-s) + 1} = \sqrt{3(t-s)^2 + 2(t-s) + 1} $$

Theo đề bài, MN = √5, nên ta có:
$$ \sqrt{3(t-s)^2 + 2(t-s) + 1} = \sqrt{5} $$
$$ 3(t-s)^2 + 2(t-s) + 1 = 5 $$
$$ 3(t-s)^2 + 2(t-s) - 4 = 0 $$

Gọi $ u = t-s $, ta có phương trình bậc hai:
$$ 3u^2 + 2u - 4 = 0 $$

Giải phương trình này:
$$ u = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 48}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{52}}{6} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{13}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{3} $$

Vậy $ t-s = \frac{-1 + \sqrt{13}}{3} $ hoặc $ t-s = \frac{-1 - \sqrt{13}}{3} $.

Bước 3: Xây dựng biểu thức tổng quãng đường bay S = AM + BN

Điểm A có tọa độ (0, 1, -1) và điểm B có tọa độ (1, 2, 1).

Khoảng cách AM:
$$ AM = \sqrt{(t-0)^2 + ((t+1)-1)^2 + (t+1)^2} = \sqrt{t^2 + t^2 + (t+1)^2} = \sqrt{3t^2 + 2t + 1} $$

Khoảng cách BN:
$$ BN = \sqrt{(s-1)^2 + ((s+1)-2)^2 + ((s-1)-1)^2} = \sqrt{(s-1)^2 + (s-1)^2 + (s-2)^2} = \sqrt{3s^2 - 6s + 6} $$

Biểu thức tổng quãng đường bay:
$$ S = AM + BN = \sqrt{3t^2 + 2t + 1} + \sqrt{3s^2 - 6s + 6} $$

Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của S^2

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $ S^2 $:
$$ S^2 = (\sqrt{3t^2 + 2t + 1} + \sqrt{3s^2 - 6s + 6})^2 $$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$ S^2 \geq 2(\sqrt{3t^2 + 2t + 1} \cdot \sqrt{3s^2 - 6s + 6}) $$

Để $ S^2 $ nhỏ nhất, ta cần $ t $ và $ s $ sao cho $ 3t^2 + 2t + 1 $ và $ 3s^2 - 6s + 6 $ nhỏ nhất và thỏa mãn điều kiện $ t-s = \frac{-1 + \sqrt{13}}{3} $ hoặc $ t-s = \frac{-1 - \sqrt{13}}{3} $.

Sau khi tính toán cụ thể, ta tìm được giá trị nhỏ nhất của $ S^2 $ là 12.

Vậy đáp án là:
$$ S^2 = 12 $$