Giup e vs a

Câu 1: Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Đáy ABCD là hình chữ nhật với \( AB = 2\sqrt{2} \) và \( BC = 2 \). - Cạnh bên SA vuông góc với đáy. - Góc giữa cạnh bên SC với đáy là \( 60^\circ \). Bước 1: Xác định độ dài cạnh SA. Do SA vuông góc với đáy, ta có tam giác SAC vuông tại A. Góc giữa SC và đáy là \( 60^\circ \), tức là góc \( \angle ASC = 60^\circ \). Ta có: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{8 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \] Trong tam giác vuông SAC, ta có: \[ \sin(60^\circ) = \frac{SA}{SC} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{SA}{SC} \] \[ SC = \frac{SA}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2SA}{\sqrt{3}} \] Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SAC: \[ SC^2 = SA^2 + AC^2 \] \[ \left(\frac{2SA}{\sqrt{3}}\right)^2 = SA^2 + (2\sqrt{3})^2 \] \[ \frac{4SA^2}{3} = SA^2 + 12 \] \[ 4SA^2 = 3SA^2 + 36 \] \[ SA^2 = 36 \] \[ SA = 6 \] Bước 2: Tìm diện tích hình chóp S.ABCD. Diện tích đáy ABCD: \[ S_{ABCD} = AB \times BC = 2\sqrt{2} \times 2 = 4\sqrt{2} \] Thể tích hình chóp S.ABCD: \[ V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA = \frac{1}{3} \times 4\sqrt{2} \times 6 = 8\sqrt{2} \] Bước 3: Tìm diện tích tam giác SBD. Ta tính diện tích tam giác SBD bằng cách chia nó thành hai tam giác SAB và SAD. Diện tích tam giác SAB: \[ S_{SAB} = \frac{1}{2} \times AB \times SA = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 6 = 6\sqrt{2} \] Diện tích tam giác SAD: \[ S_{SAD} = \frac{1}{2} \times AD \times SA = \frac{1}{2} \times 2 \times 6 = 6 \] Diện tích tam giác SBD: \[ S_{SBD} = S_{SAB} + S_{SAD} = 6\sqrt{2} + 6 \] Bước 4: Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD). Thể tích hình chóp S.BCD: \[ V_{S.BCD} = \frac{1}{3} \times S_{BCD} \times SA = \frac{1}{3} \times 4 \times 6 = 8 \] Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD): \[ d = \frac{3V_{S.BCD}}{S_{SBD}} = \frac{3 \times 8}{6\sqrt{2} + 6} = \frac{24}{6(\sqrt{2} + 1)} = \frac{4}{\sqrt{2} + 1} \] Rationalizing the denominator: \[ d = \frac{4(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{4(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = 4(\sqrt{2} - 1) \approx 1.66 \] Vậy khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) là khoảng 1.66.