Giúp mình với! Câu 81. Hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$ và $x_0\in(a;b)$ khi đó: Xét tính đúng - sai của các mện!,đề dưới đây.,$a)~f^\prime(x_0)=\lim_{x ightarrow0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$,$b)~f^\prime(x_0)=\lim\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h$,$c)~f^\prime(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại $x=0.$,$d)~f^\prime(x_0)0$,Câu 82. Cho hàm số $y=x^2+2x-4$ có đồ thị (C). Khi đó:,a) Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ $x_0=1$ thuộc (C) là -4.,b) Có hai phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ $y_0=-1$,thuộc (C),c) Phương trình tiếp tuyến của ĐTHS biết hệ số góc tiếp tuyến bằng -4 là $v=-4x-12$,d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng,$y=1-3x$ là $y=-3x-\frac{41}4.$,Câu 83. Cho hàm số,$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1}&khi~x
e1\a&khi~x=1\end{array} ight.$,a) Ta có $\lim_{\lim_{x ightarrow1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$,b) Với $a=-2$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1$,c) Với $a=2$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1$,d) Với $a=m_0$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1.$ khi đó : $\lim_{\lim(x^2+2x-3)=5}\lim_{\lim(x^2+2x-3)=5}$

Question

Giúp mình với! Câu 81. Hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$ và $x_0\in(a;b)$ khi đó: Xét tính đúng - sai của các mện!,đề dưới đây.,$a)~f^\prime(x_0)=\lim_{xightarrow0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$,$b)~f^\prime(x_0)=\lim\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h$,$c)~f^\prime(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại $x=0.$,$d)~f^\prime(x_0)>0$,Câu 82. Cho hàm số $y=x^2+2x-4$ có đồ thị (C). Khi đó:,a) Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ $x_0=1$ thuộc (C) là -4.,b) Có hai phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ $y_0=-1$,thuộc (C),c) Phương trình tiếp tuyến của ĐTHS biết hệ số góc tiếp tuyến bằng -4 là $v=-4x-12$,d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng,$y=1-3x$ là $y=-3x-\frac{41}4.$,Câu 83. Cho hàm số,$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1}&khi~x
e1\a&khi~x=1\end{array}ight.$,a) Ta có $\lim_{\lim_{xightarrow1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$,b) Với $a=-2$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1$,c) Với $a=2$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1$,d) Với $a=m_0$ thì hàm số có đạo hàm tại $x=1.$ khi đó : $\lim_{\lim(x^2+2x-3)=5}\lim_{\lim(x^2+2x-3)=5}$

Accepted Answer

Câu 81.
Để kiểm tra tính đúng - sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ xét từng mệnh đề một.

a) $ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $

Mệnh đề này đúng vì nó chính là định nghĩa của đạo hàm của hàm số $ f(x) $ tại điểm $ x_0 $.

b) $ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $

Mệnh đề này cũng đúng vì nó là một dạng khác của định nghĩa đạo hàm, trong đó $ h $ là khoảng cách giữa $ x $ và $ x_0 $. Khi $ h \to 0 $, ta có $ x \to x_0 $.

c) $ f'(x_0) $ là hệ số góc của tiếp tuyến tại $ x = 0 $.

Mệnh đề này sai vì $ f'(x_0) $ là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $ x = x_0 $, không phải tại $ x = 0 $.

d) $ f'(x_0) > 0 $.

Mệnh đề này không thể xác định đúng hay sai chỉ dựa trên thông tin đã cho. Để biết $ f'(x_0) > 0 $ hay không, ta cần biết thêm thông tin về hàm số $ f(x) $ hoặc giá trị cụ thể của $ f'(x_0) $.

Kết luận:
- Mệnh đề a) Đúng
- Mệnh đề b) Đúng
- Mệnh đề c) Sai
- Mệnh đề d) Không thể xác định

Câu 82.
Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần một.

a) Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ $x_0=1$ thuộc (C) là -4.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = x^2 + 2x - 4$:
$$ y' = 2x + 2 $$

Bước 2: Thay $x_0 = 1$ vào đạo hàm để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm này:
$$ y'(1) = 2(1) + 2 = 4 $$

Như vậy, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$ là 4, không phải -4. Vậy phần a) là sai.

b) Có hai phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ $y_0 = -1$ thuộc (C).

Bước 1: Tìm hoành độ của điểm trên đồ thị có tung độ $y_0 = -1$:
$$ x^2 + 2x - 4 = -1 $$
$$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$
$$ (x + 3)(x - 1) = 0 $$
$$ x = -3 \text{ hoặc } x = 1 $$

Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số:
$$ y' = 2x + 2 $$

Bước 3: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ $x = -3$ và $x = 1$:
- Tại $x = -3$: 
  $$ y'(-3) = 2(-3) + 2 = -4 $$
- Tại $x = 1$: 
  $$ y'(1) = 2(1) + 2 = 4 $$

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm:
- Tại điểm $(1, -1)$:
  $$ y - (-1) = 4(x - 1) $$
  $$ y = 4x - 5 $$

- Tại điểm $(-3, -1)$:
  $$ y - (-1) = -4(x + 3) $$
  $$ y = -4x - 13 $$

Như vậy, có hai phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ $y_0 = -1$. Vậy phần b) là đúng.

c) Phương trình tiếp tuyến của ĐTHS biết hệ số góc tiếp tuyến bằng -4 là $y = -4x - 12$.

Bước 1: Tìm hoành độ của điểm trên đồ thị có hệ số góc tiếp tuyến bằng -4:
$$ 2x + 2 = -4 $$
$$ 2x = -6 $$
$$ x = -3 $$

Bước 2: Tìm tung độ của điểm này:
$$ y(-3) = (-3)^2 + 2(-3) - 4 = 9 - 6 - 4 = -1 $$

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-3, -1)$:
$$ y - (-1) = -4(x + 3) $$
$$ y = -4x - 13 $$

Như vậy, phương trình tiếp tuyến là $y = -4x - 13$, không phải $y = -4x - 12$. Vậy phần c) là sai.

d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $y = 1 - 3x$ là $y = -3x - \frac{41}{4}$.

Bước 1: Tìm hoành độ của điểm trên đồ thị có hệ số góc tiếp tuyến bằng -3:
$$ 2x + 2 = -3 $$
$$ 2x = -5 $$
$$ x = -\frac{5}{2} $$

Bước 2: Tìm tung độ của điểm này:
$$ y\left(-\frac{5}{2}\right) = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{5}{2}\right) - 4 = \frac{25}{4} - 5 - 4 = \frac{25}{4} - \frac{20}{4} - \frac{16}{4} = -\frac{11}{4} $$

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $\left(-\frac{5}{2}, -\frac{11}{4}\right)$:
$$ y - \left(-\frac{11}{4}\right) = -3\left(x + \frac{5}{2}\right) $$
$$ y + \frac{11}{4} = -3x - \frac{15}{2} $$
$$ y = -3x - \frac{15}{2} - \frac{11}{4} $$
$$ y = -3x - \frac{30}{4} - \frac{11}{4} $$
$$ y = -3x - \frac{41}{4} $$

Như vậy, phương trình tiếp tuyến là $y = -3x - \frac{41}{4}$. Vậy phần d) là đúng.

Kết luận:
- Phần a) là sai.
- Phần b) là đúng.
- Phần c) là sai.
- Phần d) là đúng.

Câu 83.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

Bước 1: Xác định giới hạn của hàm số khi $ x \to 1 $

Ta có:
$$ f(x) = \begin{cases} 
\frac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{khi } x \neq 1 \
a & \text{khi } x = 1 
\end{cases} $$

Đầu tiên, ta tính giới hạn của hàm số khi $ x \to 1 $:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} $$

Chúng ta nhận thấy rằng $ x^2 - 1 $ có thể được phân tích thành $ (x - 1)(x + 1) $. Do đó:
$$ \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \quad \text{khi } x \neq 1 $$

Vậy:
$$ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2 $$

Bước 2: Xác định giá trị của $ a $ để hàm số có đạo hàm tại $ x = 1 $

Để hàm số $ f(x) $ có đạo hàm tại $ x = 1 $, hàm số phải liên tục tại điểm đó. Điều này có nghĩa là:
$$ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) $$

Từ bước 1, ta đã biết:
$$ \lim_{x \to 1} f(x) = 2 $$

Do đó, để hàm số liên tục tại $ x = 1 $, ta cần:
$$ f(1) = a = 2 $$

Bước 3: Kiểm tra các lựa chọn

a) Ta có $ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2 $ (đúng).

b) Với $ a = -2 $, hàm số không liên tục tại $ x = 1 $ vì $ \lim_{x \to 1} f(x) = 2 \neq -2 $. Do đó, hàm số không có đạo hàm tại $ x = 1 $ (sai).

c) Với $ a = 2 $, hàm số liên tục tại $ x = 1 $ vì $ \lim_{x \to 1} f(x) = 2 = f(1) $. Do đó, hàm số có đạo hàm tại $ x = 1 $ (đúng).

d) Với $ a = m_0 $, hàm số có đạo hàm tại $ x = 1 $ nếu $ m_0 = 2 $ (đúng).

Kết luận

Câu trả lời đúng là:
c) Với $ a = 2 $ thì hàm số có đạo hàm tại $ x = 1 $.