giải dùm phần 3 và phần 4

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_2(x-2) < 3$, ta cần đảm bảo rằng $x-2 > 0$ để $\log_2(x-2)$ có nghĩa. - Điều kiện này dẫn đến $x > 2$. 2. Giải bất phương trình: - Bất phương trình $\log_2(x-2) < 3$ có thể được viết lại dưới dạng: \[ \log_2(x-2) < \log_2(8) \] - Vì hàm logarit cơ số 2 là hàm tăng, nên ta có: \[ x-2 < 8 \] - Giải phương trình này, ta được: \[ x < 10 \] 3. Tìm giao của các điều kiện: - Kết hợp điều kiện $x > 2$ và $x < 10$, ta có: \[ 2 < x < 10 \] 4. Xác định các giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện trên: - Các giá trị nguyên nằm trong khoảng $(2, 10)$ là: $3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$. 5. Đếm số lượng giá trị nguyên: - Số lượng các giá trị nguyên là 7. Vậy, có 7 giá trị nguyên thuộc tập nghiệm của bất phương trình $\log_2(x-2) < 3$. Câu 2: Để tìm thời điểm mà viên đạn đạt vận tốc tức thời bằng 10 mét/giây, ta cần sử dụng phương trình chuyển động của viên đạn và đạo hàm của nó để tìm vận tốc tức thời. Phương trình chuyển động của viên đạn là: \[ h(t) = 3 + 20t - 5t^2 \] Vận tốc tức thời \( v(t) \) là đạo hàm của phương trình chuyển động \( h(t) \): \[ v(t) = \frac{d}{dt} h(t) = \frac{d}{dt} (3 + 20t - 5t^2) \] \[ v(t) = 20 - 10t \] Ta cần tìm thời điểm \( t \) sao cho vận tốc tức thời bằng 10 mét/giây: \[ 20 - 10t = 10 \] Giải phương trình này: \[ 20 - 10t = 10 \] \[ 20 - 10 = 10t \] \[ 10 = 10t \] \[ t = 1 \] Vậy tại thời điểm \( t = 1 \) giây, viên đạn đạt vận tốc tức thời bằng 10 mét/giây. Đáp số: \( t = 1 \) giây. Câu 3: Để tính $P(A\overline{\cup B})$, ta cần biết xác suất của các biến cố liên quan. Ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm xác suất của biến cố B: Vì A và B là hai biến cố độc lập, nên ta có: \[ P(AB) = P(A) \cdot P(B) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 0,2 = 0,4 \cdot P(B) \] Giải phương trình này để tìm $P(B)$: \[ P(B) = \frac{0,2}{0,4} = 0,5 \] 2. Tìm xác suất của biến cố $\overline{B}$: Xác suất của biến cố đối ngẫu $\overline{B}$ là: \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,5 = 0,5 \] 3. Tìm xác suất của biến cố $A \cap \overline{B}$: Vì A và B là hai biến cố độc lập, nên A và $\overline{B}$ cũng là hai biến cố độc lập. Do đó: \[ P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B}) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ P(A \cap \overline{B}) = 0,4 \cdot 0,5 = 0,2 \] 4. Tìm xác suất của biến cố $A \cup \overline{B}$: Ta sử dụng công thức xác suất của tổng của hai biến cố: \[ P(A \cup \overline{B}) = P(A) + P(\overline{B}) - P(A \cap \overline{B}) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ P(A \cup \overline{B}) = 0,4 + 0,5 - 0,2 = 0,7 \] 5. Tìm xác suất của biến cố $A \overline{\cup B}$: Biến cố $A \overline{\cup B}$ là biến cố đối ngẫu của biến cố $A \cup \overline{B}$. Do đó: \[ P(A \overline{\cup B}) = 1 - P(A \cup \overline{B}) = 1 - 0,7 = 0,3 \] Vậy, xác suất của biến cố $A \overline{\cup B}$ là: \[ P(A \overline{\cup B}) = 0,3 \] Câu 4: Để tìm góc phẳng nhị diện $[A, B^\prime D^\prime, A]$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng: - Điểm $A$ là đỉnh của hộp phấn. - Đường thẳng $B^\prime D^\prime$ nằm trên mặt đáy của hộp phấn. 2. Tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: - Góc phẳng nhị diện $[A, B^\prime D^\prime, A]$ là góc giữa đường thẳng $AB^\prime$ và mặt phẳng $(B^\prime D^\prime)$. 3. Xác định các cạnh và diện tích: - Chiều dài $AB^\prime$ là đường chéo của mặt đáy hình hộp chữ nhật. - Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật là $S_{đáy} = 8,5 \times 10,5 = 89,25 \text{ cm}^2$. 4. Tính độ dài đường chéo $AB^\prime$: - Độ dài đường chéo $AB^\prime$ là: \[ AB^\prime = \sqrt{(8,5)^2 + (10,5)^2} = \sqrt{72,25 + 110,25} = \sqrt{182,5} \approx 13,51 \text{ cm} \] 5. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $B^\prime D^\prime$: - Khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $B^\prime D^\prime$ là chiều cao của hộp phấn, tức là 8,2 cm. 6. Tính góc phẳng nhị diện: - Góc phẳng nhị diện $[A, B^\prime D^\prime, A]$ là góc giữa đường thẳng $AB^\prime$ và mặt phẳng $(B^\prime D^\prime)$. - Ta sử dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: \[ \sin \theta = \frac{\text{khoảng cách từ điểm đến đường thẳng}}{\text{độ dài đường chéo}} \] \[ \sin \theta = \frac{8,2}{13,51} \approx 0,607 \] \[ \theta = \arcsin(0,607) \approx 37,5^\circ \] Vậy góc phẳng nhị diện $[A, B^\prime D^\prime, A]$ là $37,5^\circ$. Câu 1: Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ của hàm số $y = \frac{2x + 3}{x - 2}$ tại điểm thuộc $(C)$ có tung độ là 3, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ điểm M trên đồ thị (C) có tung độ là 3. Ta có: \[ y = 3 \] Thay vào phương trình hàm số: \[ 3 = \frac{2x + 3}{x - 2} \] Nhân cả hai vế với $(x - 2)$ để loại bỏ mẫu số: \[ 3(x - 2) = 2x + 3 \] \[ 3x - 6 = 2x + 3 \] Rearrange terms to solve for $x$: \[ 3x - 2x = 3 + 6 \] \[ x = 9 \] Vậy tọa độ điểm M là $(9, 3)$. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{2x + 3}{x - 2}$ để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M. Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Ở đây, $u = 2x + 3$ và $v = x - 2$. Ta có: \[ u' = 2 \] \[ v' = 1 \] Do đó: \[ y' = \frac{(2)(x - 2) - (2x + 3)(1)}{(x - 2)^2} \] \[ y' = \frac{2x - 4 - 2x - 3}{(x - 2)^2} \] \[ y' = \frac{-7}{(x - 2)^2} \] Tại điểm $M(9, 3)$, thay $x = 9$ vào đạo hàm: \[ y'(9) = \frac{-7}{(9 - 2)^2} = \frac{-7}{49} = -\frac{1}{7} \] Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(9, 3). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $k$ là: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] Ở đây, $(x_0, y_0) = (9, 3)$ và $k = -\frac{1}{7}$. Thay vào ta có: \[ y - 3 = -\frac{1}{7}(x - 9) \] Rearrange để có dạng chuẩn: \[ y = -\frac{1}{7}x + \frac{9}{7} + 3 \] \[ y = -\frac{1}{7}x + \frac{9}{7} + \frac{21}{7} \] \[ y = -\frac{1}{7}x + \frac{30}{7} \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có tung độ là 3 là: \[ y = -\frac{1}{7}x + \frac{30}{7} \] Câu 2: Để tính xác suất lấy được bi thứ 1 màu trắng và bi thứ 2 màu đen, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau: 1. Tìm xác suất lấy được bi thứ 1 màu trắng: - Tổng số viên bi trong bình là: 7 (bi trắng) + 5 (bi đen) = 12 viên bi. - Xác suất lấy được bi thứ 1 màu trắng là: \[ P(\text{bi thứ 1 màu trắng}) = \frac{\text{số viên bi trắng}}{\text{tổng số viên bi}} = \frac{7}{12} \] 2. Tìm xác suất lấy được bi thứ 2 màu đen: - Vì sau khi lấy lần thứ nhất ta để lại viên bi vào bình, nên tổng số viên bi vẫn là 12 viên. - Xác suất lấy được bi thứ 2 màu đen là: \[ P(\text{bi thứ 2 màu đen}) = \frac{\text{số viên bi đen}}{\text{tổng số viên bi}} = \frac{5}{12} \] 3. Tính xác suất lấy được bi thứ 1 màu trắng và bi thứ 2 màu đen: - Xác suất của sự kiện này là tích của xác suất lấy được bi thứ 1 màu trắng và xác suất lấy được bi thứ 2 màu đen: \[ P(\text{bi thứ 1 màu trắng và bi thứ 2 màu đen}) = P(\text{bi thứ 1 màu trắng}) \times P(\text{bi thứ 2 màu đen}) \] \[ P(\text{bi thứ 1 màu trắng và bi thứ 2 màu đen}) = \frac{7}{12} \times \frac{5}{12} = \frac{35}{144} \] Vậy xác suất lấy được bi thứ 1 màu trắng và bi thứ 2 màu đen là $\frac{35}{144}$. Câu 3 Để tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AB\) và \(CD\) trong tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh \(2a\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tâm của tứ diện đều: - Tứ diện đều \(ABCD\) có tất cả các mặt đều là tam giác đều. Tâm của mỗi mặt là trung điểm của đường cao hạ từ đỉnh của tam giác đó. - Gọi \(O\) là tâm của tứ diện đều \(ABCD\). Tâm \(O\) cũng là giao điểm của các đường cao hạ từ các đỉnh của tứ diện. 2. Xác định đoạn vuông góc chung: - Trong tứ diện đều, đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AB\) và \(CD\) đi qua tâm \(O\) của tứ diện. - Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(N\) là trung điểm của \(CD\). Đoạn thẳng \(MN\) sẽ là đoạn vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\). 3. Tính độ dài đoạn vuông góc chung: - Ta biết rằng trong tam giác đều, đường cao hạ từ đỉnh đến đáy chia tam giác thành hai tam giác vuông cân. - Độ dài đường cao của tam giác đều cạnh \(2a\) là: \[ h = \sqrt{(2a)^2 - \left(\frac{2a}{2}\right)^2} = \sqrt{4a^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \] - Độ dài đoạn thẳng từ tâm \(O\) đến một đỉnh của tứ diện đều là: \[ R = \frac{2}{3} \times a\sqrt{3} = \frac{2a\sqrt{3}}{3} \] - Độ dài đoạn thẳng từ tâm \(O\) đến trung điểm của một cạnh của tứ diện đều là: \[ d = \sqrt{\left(\frac{2a\sqrt{3}}{3}\right)^2 - \left(a\right)^2} = \sqrt{\frac{4a^2 \cdot 3}{9} - a^2} = \sqrt{\frac{4a^2}{3} - a^2} = \sqrt{\frac{4a^2 - 3a^2}{3}} = \sqrt{\frac{a^2}{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}} \] 4. Tính độ dài đoạn vuông góc chung \(MN\): - Vì \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) nên đoạn thẳng \(MN\) là đoạn vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\). - Độ dài đoạn thẳng \(MN\) là: \[ MN = 2 \times d = 2 \times \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3} \] Vậy đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AB\) và \(CD\) là đoạn thẳng \(MN\) và độ dài của nó là \(\frac{2a\sqrt{3}}{3}\).