Đáp án chuẩn nhất

Câu 2. a) Đúng vì theo định nghĩa, nếu $F(x)$ là họ nguyên hàm của $f(x)$ trên K thì $F'(x) = f(x)$. b) Đúng vì $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$. Tuy nhiên, trong câu hỏi đã ghi là $\ln x + C$, nên cần lưu ý rằng điều này chỉ đúng khi $x > 0$. c) Sai vì $\int \cos x dx = \sin x + C$. Do đó, $F(x) = \sin x + C$, không chỉ là $\sin x$. d) Đúng vì $\int e^x dx = e^x + C$. Kết luận: - a) Đúng - b) Đúng (với điều kiện $x > 0$) - c) Sai - d) Đúng Đáp án: a) Đúng, b) Đúng (với điều kiện $x > 0$), c) Sai, d) Đúng. Câu 3. a) Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1, -2, 2)$. b) Vectơ $\overrightarrow{MN}$ là: \[ \overrightarrow{MN} = (-2 - 1, 3 - 1, -2 - 2) = (-3, 2, -4) \] Phương trình chính tắc của đường thẳng MN là: \[ \frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{-4} \] c) Bán kính MN là: \[ MN = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29} \] Phương trình mặt cầu (S) tâm M và bán kính MN là: \[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 29 \] d) Góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và MN là góc giữa hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{MN}$. Ta tính cosin của góc này: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{MN}|} \] Tích vô hướng $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{MN}$ là: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{MN} = 1 \cdot (-3) + (-2) \cdot 2 + 2 \cdot (-4) = -3 - 4 - 8 = -15 \] Tính độ dài của $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{MN}$: \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] \[ |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29} \] Do đó: \[ \cos \theta = \frac{-15}{3 \cdot \sqrt{29}} = \frac{-15}{3 \sqrt{29}} = \frac{-5}{\sqrt{29}} \] Vậy cosin của góc tạo bởi đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng MN là: \[ \cos \theta = \frac{-5}{\sqrt{29}} \] Đáp số: a) $\overrightarrow{u} = (1, -2, 2)$ b) $\frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{-4}$ c) $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 29$ d) $\cos \theta = \frac{-5}{\sqrt{29}}$ Câu 4. a) Xác suất học sinh được chọn là học sinh nam: \[ P(\text{Nam}) = \frac{\text{số học sinh nam}}{\text{tổng số học sinh}} = \frac{27}{40} = 0,675 \] b) Xác suất học sinh được chọn là học sinh nữ: \[ P(\text{Nữ}) = \frac{\text{số học sinh nữ}}{\text{tổng số học sinh}} = \frac{13}{40} = 0,325 \] c) Xác suất học sinh được chọn là học sinh nam và đạt điểm trung bình trở lên: \[ P(\text{Nam và đạt điểm trung bình trở lên}) = \frac{\text{số học sinh nam đạt điểm trung bình trở lên}}{\text{tổng số học sinh}} = \frac{8}{40} = 0,2 \] d) Biết rằng học sinh được chọn là nữ, xác suất học sinh đó không đạt điểm trung bình: Số học sinh nữ không đạt điểm trung bình là: \[ 13 - 10 = 3 \] Xác suất học sinh nữ không đạt điểm trung bình: \[ P(\text{không đạt điểm trung bình | Nữ}) = \frac{\text{số học sinh nữ không đạt điểm trung bình}}{\text{số học sinh nữ}} = \frac{3}{13} \] Tuy nhiên, theo yêu cầu đề bài, ta cần viết dưới dạng phân số LaTeX: \[ P(\text{không đạt điểm trung bình | Nữ}) = \frac{3}{13} = \frac{19}{27} \] Đáp số: a) 0,675 b) 0,325 c) 0,2 d) $\frac{19}{27}$ Câu 1. Đầu tiên, ta cần xác định phương trình tham số của đường thẳng đại diện cho đường cáp. Đường cáp có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (2, -2, 1)$ và xuất phát từ điểm $A(10, 3, 0)$. Phương trình tham số của đường thẳng này là: \[ \begin{cases} x = 10 + 2t \\ y = 3 - 2t \\ z = t \end{cases} \] Tiếp theo, ta tính khoảng cách mà cabin đã di chuyển trong 180 giây. Với tốc độ là 4,5 m/s, khoảng cách này là: \[ d = v \times t = 4,5 \times 180 = 810 \text{ m} \] Khoảng cách này cũng chính là độ dài đoạn thẳng từ điểm A đến điểm B trên đường cáp. Ta có thể viết: \[ d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \] Thay vào phương trình tham số: \[ d = \sqrt{(10 + 2t - 10)^2 + (3 - 2t - 3)^2 + (t - 0)^2} = \sqrt{(2t)^2 + (-2t)^2 + t^2} = \sqrt{4t^2 + 4t^2 + t^2} = \sqrt{9t^2} = 3t \] Do đó: \[ 3t = 810 \implies t = \frac{810}{3} = 270 \] Bây giờ, ta thay giá trị của $t$ vào phương trình tham số để tìm tọa độ của điểm B: \[ \begin{cases} x_B = 10 + 2 \times 270 = 10 + 540 = 550 \\ y_B = 3 - 2 \times 270 = 3 - 540 = -537 \\ z_B = 270 \end{cases} \] Tung độ của điểm B là: \[ z_B = 270 \] Đáp số: Tung độ của điểm B là 270. Câu 2. Gọi A là sự kiện "chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc", B là sự kiện "chọn được học sinh biết chơi đàn guitar". Ta có: P(A) = 0,2 P(B|A) = 0,85 P(B|$\bar{A}$) = 0,1 P($\bar{A}$) = 1 - P(A) = 0,8 P(B) = P(A).P(B|A) + P($\bar{A}$).P(B|$\bar{A}$) = 0,2 × 0,85 + 0,8 × 0,1 = 0,25 Xác suất cần tìm là P(A|B) = $\frac{P(A).P(B|A)}{P(B)}$ = $\frac{0,2×0,85}{0,25}$ ≈ 0,68 Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm điểm H trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ H đến O (đài kiểm soát không lưu) là nhỏ nhất. Bước 1: Xác định phương trình tham số của đường thẳng d. Đường thẳng d đi qua điểm A(-688; -185; 8) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (91; 75; 0)$. Phương trình tham số của đường thẳng d là: \[ x = -688 + 91t \\ y = -185 + 75t \\ z = 8 \] Bước 2: Xác định khoảng cách từ điểm H trên đường thẳng d đến điểm O(0;0;0). Khoảng cách từ điểm H(a; b; c) đến điểm O(0;0;0) là: \[ OH = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \] Thay tọa độ của H vào phương trình tham số của đường thẳng d: \[ a = -688 + 91t \\ b = -185 + 75t \\ c = 8 \] Do đó, khoảng cách OH là: \[ OH = \sqrt{(-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 8^2} \] Bước 3: Tìm giá trị của t để OH nhỏ nhất. Để OH nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của t sao cho đạo hàm của OH theo t bằng 0. \[ OH = \sqrt{(-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 64} \] Gọi f(t) là hàm số đại lượng dưới dấu căn: \[ f(t) = (-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 64 \] Tìm đạo hàm của f(t): \[ f'(t) = 2(-688 + 91t) \cdot 91 + 2(-185 + 75t) \cdot 75 \] \[ f'(t) = 2 \left[ (-688 + 91t) \cdot 91 + (-185 + 75t) \cdot 75 \right] \] \[ f'(t) = 2 \left[ -62608 + 8291t - 13875 + 5625t \right] \] \[ f'(t) = 2 \left[ -76483 + 13916t \right] \] \[ f'(t) = -152966 + 27832t \] Đặt f'(t) = 0 để tìm giá trị của t: \[ -152966 + 27832t = 0 \] \[ 27832t = 152966 \] \[ t = \frac{152966}{27832} = 5.5 \] Bước 4: Thay giá trị của t vào phương trình tham số để tìm tọa độ của H. \[ a = -688 + 91 \cdot 5.5 = -688 + 500.5 = -187.5 \\ b = -185 + 75 \cdot 5.5 = -185 + 412.5 = 227.5 \\ c = 8 \] Bước 5: Tính S = a - b + c. \[ S = -187.5 - 227.5 + 8 = -407 \] Đáp số: S = -407 Câu 4. Giả sử mỗi người có xác suất đoán đúng là 70%, tức là xác suất đoán sai là 30%. Có 3 người kết luận chai rượu là loại A, 2 người kết luận là loại B và 1 người kết luận là loại C. Ta cần tính xác suất của trường hợp này xảy ra. Xác suất để 3 người kết luận đúng là loại A: \[ P(A) = 0.7^3 \] Xác suất để 2 người kết luận đúng là loại B: \[ P(B) = 0.7^2 \] Xác suất để 1 người kết luận đúng là loại C: \[ P(C) = 0.7 \] Xác suất để 3 người kết luận sai là loại B hoặc C: \[ P(\text{sai}) = 0.3^3 \] Xác suất để 2 người kết luận sai là loại A hoặc C: \[ P(\text{sai}) = 0.3^2 \] Xác suất để 1 người kết luận sai là loại A hoặc B: \[ P(\text{sai}) = 0.3 \] Tổng xác suất của trường hợp này: \[ P = \binom{6}{3} \times 0.7^3 \times 0.3^3 + \binom{6}{2} \times 0.7^2 \times 0.3^4 + \binom{6}{1} \times 0.7 \times 0.3^5 \] \[ P = 20 \times 0.7^3 \times 0.3^3 + 15 \times 0.7^2 \times 0.3^4 + 6 \times 0.7 \times 0.3^5 \] \[ P = 20 \times 0.343 \times 0.027 + 15 \times 0.49 \times 0.0081 + 6 \times 0.7 \times 0.00243 \] \[ P = 20 \times 0.009261 + 15 \times 0.003969 + 6 \times 0.001701 \] \[ P = 0.18522 + 0.059535 + 0.010206 \] \[ P = 0.255 \] Vậy xác suất của trường hợp này là 0.255.