Trả lời câu hỏi

Câu 1: Để tìm góc giữa hai mặt bên và mặt trên của đèn thả gỗ, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm chiều cao của hình chóp cụt: - Gọi \( h \) là chiều cao của hình chóp cụt. - Ta có thể vẽ đường cao từ tâm của đáy lớn (hình vuông cạnh 40 cm) xuống đáy nhỏ (hình vuông cạnh 20 cm). - Chiều cao này sẽ tạo thành một tam giác vuông với cạnh bên của hình chóp cụt và đoạn thẳng nối tâm của hai đáy. 2. Áp dụng định lý Pythagoras: - Cạnh bên của hình chóp cụt là \( 10\sqrt{5} \) cm. - Độ dài đoạn thẳng nối tâm của hai đáy là: \[ \frac{40 - 20}{2} = 10 \text{ cm} \] - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông: \[ (10\sqrt{5})^2 = h^2 + 10^2 \] \[ 500 = h^2 + 100 \] \[ h^2 = 400 \] \[ h = 20 \text{ cm} \] 3. Tìm góc giữa hai mặt bên và mặt trên: - Gọi \( \alpha \) là góc giữa hai mặt bên và mặt trên của đèn thả gỗ. - Ta xét tam giác vuông có một đỉnh ở tâm của đáy nhỏ, một đỉnh ở tâm của đáy lớn và một đỉnh ở điểm chính giữa của một cạnh bên. - Cạnh bên của hình chóp cụt là \( 10\sqrt{5} \) cm, chiều cao là 20 cm, và đoạn thẳng nối tâm của hai đáy là 10 cm. - Ta có: \[ \tan(\alpha) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \] - Vậy: \[ \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \] 4. Kết luận: - Góc giữa hai mặt bên và mặt trên của đèn thả gỗ là: \[ \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \] Đáp số: \(\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\) Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit và các phương pháp đã học trong chương trình lớp 11. Bước 1: Xác định điều kiện: - \( x > 1 \) - \( y > 1 \) Bước 2: Áp dụng công thức đổi cơ sở logarit: \[ \log_x y = \frac{\log_a y}{\log_a x} \] Bước 3: Ta có: \[ \log_x x = 25 \] \[ \log_y x = 15 \] Bước 4: Áp dụng công thức đổi cơ sở logarit để viết lại: \[ \log_x x = \frac{\log_a x}{\log_a x} = 1 \] Nhưng theo đề bài, \(\log_x x = 25\). Điều này cho thấy có thể có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc dữ liệu không chính xác. Tuy nhiên, chúng ta sẽ tiếp tục với giả định rằng \(\log_x x = 1\) và \(\log_y x = 15\). Bước 5: Tìm giá trị của \( P = \log_y x \): \[ P = \log_y x = 15 \] Vậy giá trị của \( P \) là: \[ P = 15 \] Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức ước tính dân số \( A(t) = P \cdot e^{rt} \). Bước 1: Xác định các thông số đã biết: - Dân số vào năm 2024, \( P = 101112656 \) người. - Tỉ lệ tăng dân số hàng năm, \( r = 0,99\% = 0,0099 \). - Chúng ta cần tìm thời gian \( t \) để dân số vượt quá 110 triệu người, tức là \( A(t) > 110000000 \). Bước 2: Thay các giá trị vào công thức: \[ 101112656 \cdot e^{0,0099t} > 110000000 \] Bước 3: Chia cả hai vế cho 101112656: \[ e^{0,0099t} > \frac{110000000}{101112656} \] \[ e^{0,0099t} > 1,0879 \] Bước 4: Lấy logarit tự nhiên (ln) của cả hai vế: \[ 0,0099t > \ln(1,0879) \] Bước 5: Tính giá trị của \(\ln(1,0879)\): \[ \ln(1,0879) \approx 0,084 \] Bước 6: Giải phương trình: \[ 0,0099t > 0,084 \] \[ t > \frac{0,084}{0,0099} \] \[ t > 8,48 \] Bước 7: Kết luận: Vì \( t \) phải là số nguyên dương, nên từ năm 2024 + 9 = 2033 trở đi, dân số Việt Nam sẽ vượt quá 110 triệu người. Đáp số: Từ năm 2033 trở đi, dân số Việt Nam vượt quá 110 triệu người. Câu 4: Để tính thể tích của khối cầu dốc, ta chia nó thành hai phần: khối hộp đứng ABCF và khối chóp FAB. 1. Tính thể tích khối hộp đứng ABCF: - Diện tích đáy của khối hộp đứng là: \[ S_{ABCD} = AB \times BC = 1 \times 1 = 1 \text{ m}^2 \] - Chiều cao của khối hộp đứng là: \[ h = AB = 1 \text{ m} \] - Thể tích của khối hộp đứng là: \[ V_{ABCD} = S_{ABCD} \times h = 1 \times 1 = 1 \text{ m}^3 \] 2. Tính thể tích khối chóp FAB: - Diện tích đáy của khối chóp là: \[ S_{\Delta FAB} = \frac{1}{2} \times AB \times AF = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2} \text{ m}^2 \] - Chiều cao của khối chóp là: \[ h = FB = 1 \text{ m} \] - Thể tích của khối chóp là: \[ V_{FAB} = \frac{1}{3} \times S_{\Delta FAB} \times h = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{6} \text{ m}^3 \] 3. Tính tổng thể tích của khối cầu dốc: \[ V_{total} = V_{ABCD} + V_{FAB} = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6} \text{ m}^3 \] 4. Tính chi phí bê tông để làm tấm cầu dốc: - Giá bê tông là 1,2 triệu đồng/m³. - Chi phí bê tông là: \[ Cost = V_{total} \times Price = \frac{7}{6} \times 1,2 = 1,4 \text{ triệu đồng} \] 5. Chuyển đổi đơn vị từ triệu đồng sang nghìn đồng: \[ x = 1,4 \times 1000 = 1400 \text{ nghìn đồng} \] Vậy, số tiền bê tông để làm tấm cầu dốc là \( x = 1400 \) nghìn đồng.