giải chi tiết

Câu 6. Trước tiên, ta nhận thấy rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A và có góc B bằng 60°. Do đó, góc C sẽ là 30° (vì tổng các góc trong tam giác là 180°). Trong tam giác vuông, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng nửa độ dài cạnh huyền. Ta cần tìm độ dài cạnh huyền BC. Ta sử dụng tỉ số lượng giác của góc 30° và 60° trong tam giác vuông: - $\sin(60^\circ) = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC}$ - $\cos(60^\circ) = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC}$ Biết rằng $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, ta có: \[ \frac{AB}{BC} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{10}{BC} = \frac{1}{2} \] \[ BC = 10 \times 2 = 20 \text{ cm} \] Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng nửa độ dài cạnh huyền: \[ R = \frac{BC}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm} \] Vậy đáp án đúng là: C. 10 cm. Câu 7. Khi tung ngẫu nhiên một con xúc xắc cân đối và đồng chất, ta có 6 kết quả có thể xảy ra: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Trong đó, các mặt có số chấm nhỏ hơn 3 là: 1 và 2. Vậy xác suất để mặt có số chấm nhỏ hơn 3 xuất hiện là: \[ \frac{\text{số kết quả mong muốn}}{\text{số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. \] Đáp án đúng là: $D.~\frac{1}{3}$. Câu 8. Phương trình $x^2 - 3x - 1 = 0$ có nghiệm là $x_1$ và $x_2$. Ta cần tìm giá trị của biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2$. Theo định lý Vi-et: - Tổng của các nghiệm: $x_1 + x_2 = 3$ - Tích của các nghiệm: $x_1 \cdot x_2 = -1$ Ta có: \[ A = x_1^2 + x_2^2 \] Áp dụng công thức $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$, ta có: \[ (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 3^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2(-1) \] \[ 9 = x_1^2 + x_2^2 - 2 \] Do đó: \[ x_1^2 + x_2^2 = 9 + 2 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 11 \] Vậy giá trị của biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2$ là 11. Đáp án đúng là: B. 11 Câu 1 Tổng xác suất của các sự kiện là 1, do đó xác suất lấy được viên bi màu tím là: \[1 - \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} \right)\] Quy đồng mẫu số các phân số: \[\frac{1}{6} = \frac{6}{36}, \quad \frac{1}{4} = \frac{9}{36}, \quad \frac{1}{9} = \frac{4}{36}\] Cộng các phân số này lại: \[\frac{6}{36} + \frac{9}{36} + \frac{4}{36} = \frac{19}{36}\] Vậy xác suất lấy được viên bi màu tím là: \[1 - \frac{19}{36} = \frac{36}{36} - \frac{19}{36} = \frac{17}{36}\] Số viên bi màu tím trong hộp là: \[36 \times \frac{17}{36} = 17\] Đáp số: 17 viên bi màu tím.