Cho tam giác đều ABC có đường cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm
M bất kì (M không trùng với B, C, H ). Vẽ đường tròn tâm O đường kính
AM, đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại P và Q.
a) Tính số đo góc PMQ.

b) Chứng minh điểm H thuộc đường tròn đường kính AM và tứ giác OPHQ là hình thoi.

Question

Cho tam giác đều ABC có đường cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm 
M bất kì (M không trùng với B, C, H ). Vẽ đường tròn tâm O đường kính 
AM, đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. 
      a) Tính số đo góc PMQ.      
 
       b) Chứng minh điểm H thuộc đường tròn đường kính AM và tứ giác OPHQ là hình thoi.

ft. Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5416509,"userName":"Trần Đăng Gia Bảo"}

a, △ABC đều ⇒ AH vừa là đường cao, trung tuyến, phân giác.

Đường tròn (O) đường kính AM ⇒ $\widehat{APM} = \widehat{AQM} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Tứ giác APMQ có:$\widehat{APM} + \widehat{AQM} = 180^\circ$

⇒ APMQ nội tiếp đường tròn (O).

Góc nội tiếp cùng chắn cung PQ:$\widehat{PMQ} = \widehat{PAQ} = 60^\circ$

b, △ABC đều ⇒ AH ⊥ BC.

Đường tròn (O) đường kính AM ⇒ $\widehat{AHM} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Mà AH ⊥ BC ⇒ H nằm trên (O).

Ta có: OP = OQ = OH (cùng là bán kính của (O)).

△APH và △AQH vuông tại P, Q ⇒ PH = HQ (do AH là trung trực trong tam giác đều).

Tứ giác OPHQ có: OP = OQ = PH = HQ ⇒ OPHQ là hình thoi.

Timi · Answer

a) Ta có $\widehat{PMQ} = \widehat{PAQ}$ (cùng chắn cung PQ)
Mà $\widehat{PAQ} = 60^\circ$ (góc nội tiếp tam giác đều)
Vậy $\widehat{PMQ} = 60^\circ$
b) Ta có $\widehat{AHB} = 90^\circ$ (AH là đường cao)
Mà $\widehat{APM} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn đường kính AM)
Suy ra $\widehat{AHB} = \widehat{APM}$
Suy ra H thuộc đường tròn đường kính AM
Ta có $\widehat{OPA} = \widehat{OQA} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn đường kính)
Mà $\widehat{OAP} = \widehat{OAQ}$ (tia OA là tia phân giác của $\widehat{A}$)
Suy ra $	riangle OAP = 	riangle OAQ$ (cạnh huyền và 1 góc nhọn)
Suy ra OP = OQ
Mà OP = OH = OQ (bán kính đường tròn)
Suy ra OPHQ là hình thoi (4 cạnh bằng nhau)

Cho tam giác đều ABC có đường cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì (M không trùng với B, C, H ). Vẽ đường tròn tâm O đường kính AM, đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. a) Tính...