Cho tôi đáp án câu 1 Phần 4: Tự luận,Câu 1: Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}u_5-u_1+u_8=35\u_6+u_2-u_9=-4\end{array} ight.$,a. (0,5 điểm) Xác định $u_1,$ công sai $d$ và số hạng tổng quát $u_n.$,b. (0,25 điểm) Tính số hạng thứ 100 của cấp số.,c. (0,25 điểm) Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số.,d. (0,5 điểm) Tính $S=u_{12}+u_{13}+u_{14}+...+u_{79}+u_{80}.$,e. (0,5 điểm) Tính $S=u_2+u_4+u_6+u_8+...+u_{2n}+...+u_{100}.$,Câu 2: (0,5 điểm) Tìm x để $x^2+1;x-2;1-3x$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.,Câu 3: (0,5 điểm) Biết tổng n số hạng ban đầu của một dãy số có dạng $S_n=2n^2-3n.$ Tìm $u_1$ và d.,Câu 3: (1 điểm) Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số,hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5,... và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n. Bi,rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông?

Question

Cho tôi đáp án câu 1 Phần 4: Tự luận,Câu 1: Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}u_5-u_1+u_8=35\u_6+u_2-u_9=-4\end{array}ight.$,a. (0,5 điểm) Xác định $u_1,$ công sai $d$ và số hạng tổng quát $u_n.$,b. (0,25 điểm) Tính số hạng thứ 100 của cấp số.,c. (0,25 điểm) Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số.,d. (0,5 điểm) Tính $S=u_{12}+u_{13}+u_{14}+...+u_{79}+u_{80}.$,e. (0,5 điểm) Tính $S=u_2+u_4+u_6+u_8+...+u_{2n}+...+u_{100}.$,Câu 2: (0,5 điểm) Tìm x để $x^2+1;x-2;1-3x$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.,Câu 3: (0,5 điểm) Biết tổng n số hạng ban đầu của một dãy số có dạng $S_n=2n^2-3n.$ Tìm $u_1$ và d.,Câu 3: (1 điểm) Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số,hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5,... và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n. Bi,rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông?

Accepted Answer

Câu 1:
a. Ta có:
$u_5-u_1+u_8=35$
$\Rightarrow u_1+4d-u_1+u_1+7d=35$
$\Rightarrow u_1+11d=35$ (1)
$u_6+u_2-u_9=-4$
$\Rightarrow u_1+5d+u_1+d-u_1-8d=-4$
$\Rightarrow u_1-2d=-4$ (2)
Lấy (1) - 5 × (2) ta được:
$21d=55$
$\Rightarrow d=\frac{55}{21}$
Thay vào (2) ta được:
$u_1-2×\frac{55}{21}=-4$
$\Rightarrow u_1=\frac{2}{21}$
Số hạng tổng quát của dãy số là:
$u_n=\frac{2}{21}+(n-1)×\frac{55}{21}=\frac{55n-53}{21}$
b. Số hạng thứ 100 của dãy số là:
$u_{100}=\frac{55×100-53}{21}=260$
c. Tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy số là:
$S_{20}=\frac{20}{2}×(\frac{2}{21}+\frac{55×20-53}{21})=10×\frac{1047}{21}=\frac{10470}{21}$
d. Ta có:
$S=u_{12}+u_{13}+u_{14}+...+u_{79}+u_{80}$
$=(u_1+u_2+u_3+...+u_{80})-(u_1+u_2+u_3+...+u_{11})$
$=S_{80}-S_{11}$
$=\frac{80}{2}×(\frac{2}{21}+\frac{55×80-53}{21})-\frac{11}{2}×(\frac{2}{21}+\frac{55×11-53}{21})$
$=40×\frac{4347}{21}-\frac{11}{2}×\frac{592}{21}$
$=\frac{173880}{21}-\frac{6512}{21}$
$=\frac{167368}{21}$
e. Ta có:
$S=u_2+u_4+u_6+u_8+...+u_{2n}+...+u_{100}$
$=(u_1+u_2+u_3+...+u_{100})-(u_1+u_3+u_5+...+u_{99})$
$=S_{100}-S'_{50}$
$=\frac{100}{2}×(\frac{2}{21}+\frac{55×100-53}{21})-\frac{50}{2}×(\frac{2}{21}+\frac{55×50-53}{21})$
$=50×\frac{5447}{21}-25×\frac{2697}{21}$
$=\frac{272350}{21}-\frac{67425}{21}$
$=\frac{204925}{21}$

Câu 2:
Để ba số $x^2 + 1$, $x - 2$, và $1 - 3x$ lập thành một cấp số cộng, ta cần có:
$$2(x - 2) = (x^2 + 1) + (1 - 3x)$$

Bước 1: Giải phương trình
$$2(x - 2) = x^2 + 1 + 1 - 3x$$
$$2x - 4 = x^2 - 3x + 2$$
$$0 = x^2 - 5x + 6$$
$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai
$$x^2 - 5x + 6 = 0$$
Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình này:
$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$$

Do đó:
$$x - 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 3 = 0$$
$$x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = 3$$

Vậy, các giá trị của $x$ để ba số $x^2 + 1$, $x - 2$, và $1 - 3x$ lập thành một cấp số cộng là:
$$x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = 3$$

Câu 3:
Để tìm $ u_1 $ và $ d $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm $ u_1 $:
   - $ S_1 $ là tổng của 1 số hạng đầu tiên, tức là $ S_1 = u_1 $.
   - Thay $ n = 1 $ vào công thức $ S_n = 2n^2 - 3n $:
     $$
     S_1 = 2(1)^2 - 3(1) = 2 - 3 = -1
     $$
   - Vậy $ u_1 = -1 $.

2. Tìm $ u_2 $:
   - $ S_2 $ là tổng của 2 số hạng đầu tiên, tức là $ S_2 = u_1 + u_2 $.
   - Thay $ n = 2 $ vào công thức $ S_n = 2n^2 - 3n $:
     $$
     S_2 = 2(2)^2 - 3(2) = 2 \cdot 4 - 6 = 8 - 6 = 2
     $$
   - Ta đã biết $ u_1 = -1 $, vậy:
     $$
     S_2 = u_1 + u_2 \implies 2 = -1 + u_2 \implies u_2 = 2 + 1 = 3
     $$

3. Tìm $ d $:
   - $ d $ là khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy số.
   - Ta có:
     $$
     d = u_2 - u_1 = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4
     $$

Vậy $ u_1 = -1 $ và $ d = 4 $.

Câu 3:
Số hạt dẻ đặt ở ô thứ nhất là 7 hạt.
Số hạt dẻ đặt ở ô thứ hai là: 7 + 5 = 12 hạt.
Số hạt dẻ đặt ở ô thứ ba là: 12 + 5 = 17 hạt.
...
Nhận xét: Đây là dãy số cách đều 5 đơn vị.
Ta có:
7 + 12 + 17 + ... + u(n) = 25450
(7 + u(n)) x n : 2 = 25450
(7 + u(n)) x n = 25450 x 2
(7 + u(n)) x n = 50900
Vì 50900 chia hết cho 5 nên (7 + u(n)) hoặc n phải chia hết cho 5.
Mà 7 + u(n) không thể chia hết cho 5 vì 7 + u(n) khi chia cho 5 dư 2.
Do đó n phải chia hết cho 5.
Ta có: 50900 = 1 x 50900 = 2 x 25450 = 4 x 12725 = 5 x 10180 = ...
Ta thấy trong các thừa số của 50900 thì chỉ có 10180 chia hết cho 5 và là số lớn nhất.
Do đó n = 10180
Vậy bàn cờ đó có 10180 ô vuông.