Cghch nhjkjfb Câu 5: Cho cấp số nhân $(u_n)$ thoả mãn $\left\{\begin{array}{l}u_4+u_6=-540\u_3+u_5=180\end{array} ight..$ Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau:,a) Số hạng $u_1=2$,b) Gọi q là công bội của cấp số nhân, thì ba số q;1;3 tạo thành một cấp số cộng,c) Số -486 là số hạng thứ 5 của cấp số nhân,d) Tổng của 21 số hạng đầu cấp số nhân đã cho bằng 5230176602,Câu 6: Aladin nhặt được cây đèn thần, chàng miết tay vào cây đèn và gọi Thần đèn ra. Thần đèn cho,chàng 3 điều ước. Aladin ước 2 điều đầu tiên tùy thích, nhưng điều ước thứ 3 của chàng là: "Ước gì ngày,mai tôi lại nhặt được cây đèn và Thần cho tôi số điều ước gấp đôi số điều ước ngày hôm nay". Thần đèn,chấp thuận và mỗi ngày Aladin đều thực hiện theo quy tắc như trên: ước hết các điều đầu tiên và luôn,chừa lại điều ước cuối cùng để kéo dài thỏa thuận với thần đèn cho ngày hôm sau. Xác định tính đúng, sai,của các khẳng định sau:,a) Ngày thứ hai Aladin ước 6 điều.,b) Ngày thứ ba Aladin ước 12 điều.,c) Ngày thứ tư Aladin ước 48 điều.,d) Sau 10 ngày gặp Thần đèn, Aladin ước tất cả 3269 điều ước

Question

Cghch nhjkjfb Câu 5: Cho cấp số nhân $(u_n)$ thoả mãn $\left\{\begin{array}{l}u_4+u_6=-540\u_3+u_5=180\end{array}ight..$ Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau:,a) Số hạng $u_1=2$,b) Gọi q là công bội của cấp số nhân, thì ba số q;1;3 tạo thành một cấp số cộng,c) Số -486 là số hạng thứ 5 của cấp số nhân,d) Tổng của 21 số hạng đầu cấp số nhân đã cho bằng 5230176602,Câu 6: Aladin nhặt được cây đèn thần, chàng miết tay vào cây đèn và gọi Thần đèn ra. Thần đèn cho,chàng 3 điều ước. Aladin ước 2 điều đầu tiên tùy thích, nhưng điều ước thứ 3 của chàng là: "Ước gì ngày,mai tôi lại nhặt được cây đèn và Thần cho tôi số điều ước gấp đôi số điều ước ngày hôm nay". Thần đèn,chấp thuận và mỗi ngày Aladin đều thực hiện theo quy tắc như trên: ước hết các điều đầu tiên và luôn,chừa lại điều ước cuối cùng để kéo dài thỏa thuận với thần đèn cho ngày hôm sau. Xác định tính đúng, sai,của các khẳng định sau:,a) Ngày thứ hai Aladin ước 6 điều.,b) Ngày thứ ba Aladin ước 12 điều.,c) Ngày thứ tư Aladin ước 48 điều.,d) Sau 10 ngày gặp Thần đèn, Aladin ước tất cả 3269 điều ước

Accepted Answer

Câu 5:
Để xác định tính đúng, sai của các khẳng định, chúng ta sẽ giải bài toán theo từng bước.

Bước 1: Xác định số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân

Ta có:
$$ u_4 + u_6 = -540 $$
$$ u_3 + u_5 = 180 $$

Biểu diễn các số hạng qua số hạng đầu tiên $ u_1 $ và công bội $ q $:
$$ u_4 = u_1 q^3 $$
$$ u_6 = u_1 q^5 $$
$$ u_3 = u_1 q^2 $$
$$ u_5 = u_1 q^4 $$

Thay vào các phương trình:
$$ u_1 q^3 + u_1 q^5 = -540 $$
$$ u_1 q^2 + u_1 q^4 = 180 $$

Chia cả hai vế của phương trình thứ hai cho $ u_1 q^2 $:
$$ 1 + q^2 = \frac{180}{u_1 q^2} $$

Chia cả hai vế của phương trình thứ nhất cho $ u_1 q^3 $:
$$ 1 + q^2 = \frac{-540}{u_1 q^3} $$

Từ đây, ta có:
$$ \frac{180}{u_1 q^2} = \frac{-540}{u_1 q^3} $$

Giải phương trình này:
$$ 180 q = -540 $$
$$ q = -3 $$

Thay $ q = -3 $ vào phương trình $ u_1 q^2 + u_1 q^4 = 180 $:
$$ u_1 (-3)^2 + u_1 (-3)^4 = 180 $$
$$ 9 u_1 + 81 u_1 = 180 $$
$$ 90 u_1 = 180 $$
$$ u_1 = 2 $$

Bước 2: Kiểm tra các khẳng định

a) Số hạng $ u_1 = 2 $
- Đúng vì ta đã tìm được $ u_1 = 2 $.

b) Gọi $ q $ là công bội của cấp số nhân, thì ba số $ q $; 1; 3 tạo thành một cấp số cộng
- Sai vì $ q = -3 $. Ba số $ -3 $, 1, 3 không tạo thành cấp số cộng.

c) Số -486 là số hạng thứ 5 của cấp số nhân
- Ta kiểm tra:
$$ u_5 = u_1 q^4 = 2 (-3)^4 = 2 \times 81 = 162 $$
- Sai vì $ u_5 = 162 $, không phải -486.

d) Tổng của 21 số hạng đầu cấp số nhân đã cho bằng 5230176602
- Ta sử dụng công thức tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:
$$ S_{21} = u_1 \frac{q^{21} - 1}{q - 1} $$
$$ S_{21} = 2 \frac{(-3)^{21} - 1}{-3 - 1} $$
$$ S_{21} = 2 \frac{-177147 - 1}{-4} $$
$$ S_{21} = 2 \frac{-177148}{-4} $$
$$ S_{21} = 2 \times 44287 $$
$$ S_{21} = 88574 $$
- Sai vì tổng thực tế là 88574, không phải 5230176602.

Kết luận
a) Đúng
b) Sai
c) Sai
d) Sai

Câu 6:
a) Ngày thứ hai Aladin ước 6 điều.
Ngày thứ nhất Aladin ước 3 điều, trong đó có 1 điều cuối cùng là "Ước gì ngày mai tôi lại nhặt được cây đèn và Thần cho tôi số điều ước gấp đôi số điều ước ngày hôm nay". Vậy ngày thứ hai Aladin sẽ có 2 × 3 = 6 điều ước. Đúng.

b) Ngày thứ ba Aladin ước 12 điều.
Ngày thứ hai Aladin ước 6 điều, trong đó có 1 điều cuối cùng là "Ước gì ngày mai tôi lại nhặt được cây đèn và Thần cho tôi số điều ước gấp đôi số điều ước ngày hôm nay". Vậy ngày thứ ba Aladin sẽ có 2 × 6 = 12 điều ước. Đúng.

c) Ngày thứ tư Aladin ước 48 điều.
Ngày thứ ba Aladin ước 12 điều, trong đó có 1 điều cuối cùng là "Ước gì ngày mai tôi lại nhặt được cây đèn và Thần cho tôi số điều ước gấp đôi số điều ước ngày hôm nay". Vậy ngày thứ tư Aladin sẽ có 2 × 12 = 24 điều ước. Sai.

d) Sau 10 ngày gặp Thần đèn, Aladin ước tất cả 3269 điều ước.
Ta thấy mỗi ngày Aladin ước số điều ước tăng gấp đôi so với ngày trước đó trừ đi 1 điều cuối cùng. Ta có thể tính tổng số điều ước sau 10 ngày bằng cách cộng dồn số điều ước mỗi ngày:
Ngày thứ nhất: 3 điều.
Ngày thứ hai: 6 - 1 = 5 điều.
Ngày thứ ba: 12 - 1 = 11 điều.
Ngày thứ tư: 24 - 1 = 23 điều.
Ngày thứ năm: 48 - 1 = 47 điều.
Ngày thứ sáu: 96 - 1 = 95 điều.
Ngày thứ bảy: 192 - 1 = 191 điều.
Ngày thứ tám: 384 - 1 = 383 điều.
Ngày thứ chín: 768 - 1 = 767 điều.
Ngày thứ mười: 1536 - 1 = 1535 điều.
Tổng số điều ước sau 10 ngày là:
3 + 5 + 11 + 23 + 47 + 95 + 191 + 383 + 767 + 1535 = 3269 điều.
Đúng.

Đáp số: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.