Câu 14:
Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
1. Xác định tọa độ của các điểm và vectơ liên quan:
Giả sử điểm là gốc tọa độ , điểm có tọa độ , điểm có tọa độ , và điểm có tọa độ .
Điểm là trung điểm của đoạn thẳng , do đó tọa độ của là:
2. Tính vectơ và :
Vectơ có tọa độ:
Vectơ có tọa độ:
3. Tính góc giữa hai vectơ và :
Góc giữa hai vectơ được tính bằng công thức:
Trong đó:
- Tích vô hướng là:
- Độ dài của vectơ là:
- Độ dài của vectơ là:
4. Kết luận:
Sau khi tính được , ta có thể tìm được góc bằng cách sử dụng hàm cosin ngược (nếu cần thiết). Tuy nhiên, trong bài toán này, chỉ cần tính là đủ để xác định góc giữa hai vectơ.
Lưu ý: Để có thể tính toán cụ thể, bạn cần biết tọa độ chính xác của các điểm , , và .
Bài 14:
Để giải bài toán này, ta cần xác định tọa độ của các điểm trong hình lập phương và sau đó tính góc giữa các vectơ đã cho.
Bước 1: Xác định tọa độ các điểm
Giả sử hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng và tọa độ của điểm A là . Khi đó, tọa độ các điểm khác là:
-
-
-
-
-
-
-
Bước 2: Tính góc
- Vectơ
- Vectơ
Để tính góc giữa hai vectơ, ta sử dụng công thức:
Tích vô hướng:
Độ dài các vectơ:
Do đó:
Vậy góc là .
Bước 3: Tính góc
- Vectơ
- Vectơ
Tích vô hướng:
Độ dài các vectơ:
Do đó:
Vậy góc là .
Kết luận
- Góc là .
- Góc là .
Bài 15:
Để tính góc giữa hai vectơ và , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định tọa độ các điểm:
Đặt tại gốc tọa độ .
Do , ta có thể đặt:
-
-
Điểm nằm trên đường trung trực của tam giác và cách đều , , một khoảng . Do đó, tọa độ của có dạng thỏa mãn:
Từ , ta có:
Từ , ta có:
Từ , ta có:
2. Giải hệ phương trình:
Từ hai phương trình và , ta có:
Thay và vào phương trình :
Vậy tọa độ của là .
3. Tính các vectơ:
Vectơ .
Vectơ .
4. Tính góc giữa hai vectơ:
Sử dụng công thức tích vô hướng:
Độ lớn của :
Độ lớn của :
Góc giữa hai vectơ:
Vậy góc giữa hai vectơ và là .
Bài 16:
Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định tọa độ của các điểm trong hình lập phương và sau đó tính các tích vô hướng và góc giữa các vectơ.
a) Tính tích vô hướng
1. Tọa độ các điểm:
Giả sử hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng và tọa độ điểm là . Khi đó, các điểm khác có tọa độ như sau:
-
-
-
-
-
-
-
2. Tính :
-
-
Tích vô hướng:
3. Tính :
-
-
Tích vô hướng:
b) Tính góc giữa các vectơ
1. Góc giữa :
-
-
Tích vô hướng:
Độ dài:
Góc:
2. Góc giữa :
-
-
Tích vô hướng:
Độ dài:
Góc:
Kết luận:
- Tích vô hướng
- Tích vô hướng
- Góc giữa là
- Góc giữa là
Bài 17:
Để giải bài toán này, ta cần tính tích vô hướng của hai vectơ và .
Trước tiên, ta cần xác định các vectơ và trong không gian. Do và , ta có thể giả sử các điểm nằm trên một mặt phẳng và có tọa độ như sau:
- Giả sử là gốc tọa độ .
- Do , ta có thể chọn và để thỏa mãn .
- Tương tự, để thỏa mãn .
Tuy nhiên, để đảm bảo , ta cần điều chỉnh tọa độ của sao cho không nằm trên mặt phẳng . Giả sử có tọa độ .
Bây giờ, ta tính các vectơ:
Tích vô hướng của hai vectơ và là:
Vậy, giá trị của bằng .
Bài 18:
Để chứng minh các đẳng thức vector trong tứ diện , chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tích vô hướng và các phép biến đổi vector cơ bản.
a) Chứng minh
Bước 1: Biểu diễn vector và theo các vector khác.
Ta có:
và
Bước 2: Tính tích vô hướng .
Thay vào biểu thức:
Bước 3: Sử dụng tính chất phân phối của tích vô hướng:
Bước 4: Nhận xét rằng , do đó:
Bước 5: Thay vào biểu thức:
Bước 6: Nhận xét rằng , do đó:
Kết luận:
b) Chứng minh
Bước 1: Sử dụng kết quả từ phần a), ta có:
Bước 2: Xét các tích vô hướng khác:
Bước 3: Cộng các biểu thức lại:
Bước 4: Nhận xét rằng các tích vô hướng này triệt tiêu nhau do tính chất đối xứng và phân phối của tích vô hướng trong không gian ba chiều.
Kết luận:
Vậy, cả hai đẳng thức đã được chứng minh.
Bài 19:
Để giải bài toán này, chúng ta cần tính các tích vô hướng của các vectơ trong tứ diện đều ABCD có cạnh bằng .
a) Tính tích vô hướng
1. Đặt hệ trục tọa độ:
- Giả sử có tọa độ .
- có tọa độ .
- có tọa độ .
- có tọa độ .
2. Tính và :
- .
- .
3. Tính tích vô hướng :
b) Tính tích vô hướng
1. Tính :
- .
2. Tính tích vô hướng :
Kết luận
- Tích vô hướng .
- Tích vô hướng .
Vậy, các tích vô hướng cần tìm là và .