Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. Chúng ta sẽ bắt đầu với việc xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, sau đó dựa vào đồ thị để biện luận số nghiệm của các phương trình tương ứng. Bài 1: $y = x^3 + 3x^2 + 2$ 1) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) - Tìm đạo hàm: $y' = 3x^2 + 6x$ - Tìm điểm cực trị: $y' = 0 \Rightarrow 3x^2 + 6x = 0 \Rightarrow 3x(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = -2$ - Kiểm tra dấu đạo hàm: - $y' > 0$ khi $x < -2$ hoặc $x > 0$ - $y' < 0$ khi $-2 < x < 0$ - Tính giá trị hàm số tại các điểm cực trị: - $y(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 2 = -8 + 12 + 2 = 6$ - $y(0) = 0^3 + 3(0)^2 + 2 = 2$ - Đồ thị: Đồ thị có dạng S, với điểm cực đại $(0, 2)$ và điểm cực tiểu $(-2, 6)$. 2) Biện luận số nghiệm phương trình: $x^3 + 3x^2 + 2 - m = 0$ - Phương trình: $x^3 + 3x^2 + 2 = m$ - Biện luận: - Nếu $m < 2$, phương trình có 1 nghiệm. - Nếu $m = 2$, phương trình có 2 nghiệm. - Nếu $2 < m < 6$, phương trình có 3 nghiệm. - Nếu $m = 6$, phương trình có 2 nghiệm. - Nếu $m > 6$, phương trình có 1 nghiệm. 3) Biện luận số nghiệm phương trình: $x^3 + 3x^2 + 1 - m = 0$ - Phương trình: $x^3 + 3x^2 + 1 = m$ - Nếu $m < 1$, phương trình có 1 nghiệm. - Nếu $m = 1$, phương trình có 2 nghiệm. - Nếu $1 < m < 5$, phương trình có 3 nghiệm. - Nếu $m = 5$, phương trình có 2 nghiệm. - Nếu $m > 5$, phương trình có 1 nghiệm. 4) Biện luận số nghiệm phương trình: $x^3 + 3x^2 - 2m = 0$ - Phương trình: $x^3 + 3x^2 = 2m$ - Nếu $2m < 2$, phương trình có 1 nghiệm. - Nếu $2m = 2$, phương trình có 2 nghiệm. - Nếu $2 < 2m < 6$, phương trình có 3 nghiệm. - Nếu $2m = 6$, phương trình có 2 nghiệm. - Nếu $2m > 6$, phương trình có 1 nghiệm. 5) Biện luận số nghiệm phương trình: $x^3 + 3x^2 + 3 + m = 0$ - Phương trình: $x^3 + 3x^2 + 3 = -m$ - Nếu $-m < 2$, phương trình có 1 nghiệm. - Nếu $-m = 2$, phương trình có 2 nghiệm. - Nếu $2 < -m < 6$, phương trình có 3 nghiệm. - Nếu $-m = 6$, phương trình có 2 nghiệm. - Nếu $-m > 6$, phương trình có 1 nghiệm. 6) Biện luận số nghiệm phương trình: $-x^3 - 3x^2 + 2 + 3m = 0$ - Phương trình: $-x^3 - 3x^2 + 2 = -3m$ - Nếu $-3m < 2$, phương trình có 1 nghiệm. - Nếu $-3m = 2$, phương trình có 2 nghiệm. - Nếu $2 < -3m < 6$, phương trình có 3 nghiệm. - Nếu $-3m = 6$, phương trình có 2 nghiệm. - Nếu $-3m > 6$, phương trình có 1 nghiệm. Bài 2: $y = x^3 - 3x + 1$ - Tìm đạo hàm: $y' = 3x^2 - 3$ - Tìm điểm cực trị: $y' = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1$ hoặc $x = -1$ - $y' > 0$ khi $x < -1$ hoặc $x > 1$ - $y' < 0$ khi $-1 < x < 1$ - $y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$ - $y(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$ - Đồ thị: Đồ thị có dạng S, với điểm cực đại $(-1, 3)$ và điểm cực tiểu $(1, -1)$. 2) Biện luận số nghiệm phương trình: $x^3 - 3x + 5 - m = 0$ - Phương trình: $x^3 - 3x + 5 = m$ - Nếu $m < -1$, phương trình có 1 nghiệm. - Nếu $m = -1$, phương trình có 2 nghiệm. - Nếu $-1 < m < 3$, phương trình có 3 nghiệm. - Nếu $m = 3$, phương trình có 2 nghiệm. - Nếu $m > 3$, phương trình có 1 nghiệm. 3) Biện luận số nghiệm phương trình: $x^3 - 3x - 3 - 3m = 0$ - Phương trình: $x^3 - 3x - 3 = 3m$ - Nếu $3m < -1$, phương trình có 1 nghiệm. - Nếu $3m = -1$, phương trình có 2 nghiệm. - Nếu $-1 < 3m < 3$, phương trình có 3 nghiệm. - Nếu $3m = 3$, phương trình có 2 nghiệm. - Nếu $3m > 3$, phương trình có 1 nghiệm. 4) Biện luận số nghiệm phương trình: $2x^3 - 6x + 8 - 4m = 0$ - Phương trình: $2x^3 - 6x + 8 = 4m$ - Nếu $4m < -1$, phương trình có 1 nghiệm. - Nếu $4m = -1$, phương trình có 2 nghiệm. - Nếu $-1 < 4m < 3$, phương trình có 3 nghiệm. - Nếu $4m = 3$, phương trình có 2 nghiệm. - Nếu $4m > 3$, phương trình có 1 nghiệm. 5) Biện luận số nghiệm phương trình: $x^3 - 3x + 5 - m = 0$ Bài 3: $y = -x^3 - 3x^2 + 2$ - Tìm đạo hàm: $y' = -3x^2 - 6x$ - Tìm điểm cực trị: $y' = 0 \Rightarrow -3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow -3x(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = -2$ - $y' > 0$ khi $-2 < x < 0$ - $y' < 0$ khi $x < -2$ hoặc $x > 0$ - $y(-2) = -(-2)^3 - 3(-2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$ - $y(0) = -(0)^3 - 3(0)^2 + 2 = 2$ - Đồ thị: Đồ thị có dạng S, với điểm cực đại $(0, 2)$ và điểm cực tiểu $(-2, -2)$. 2) Biện luận số nghiệm phương trình: $-x^3 - 3x^2 + 1 - m = 0$ - Phương trình: $-x^3 - 3x^2 + 1 = m$ - Nếu $m < -2$, phương trình có 1 nghiệm. - Nếu $m = -2$, phương trình có 2 nghiệm. - Nếu $-2 < m < 2$, phương trình có 3 nghiệm. - Nếu $m > 2$, phương trình có 1 nghiệm. 3) Biện luận số nghiệm phương trình: $-x^3 - 3x^2 + 1 + 3m = 0$ - Phương trình: $-x^3 - 3x^2 + 1 = -3m$ - Nếu $-3m < -2$, phương trình có 1 nghiệm. - Nếu $-3m = -2$, phương trình có 2 nghiệm. - Nếu $-2 < -3m < 2$, phương trình có 3 nghiệm. - Nếu $-3m > 2$, phương trình có 1 nghiệm. 4) Biện luận số nghiệm phương trình: $-x^3 - 3x^2 + 1 - m = 0$ 5) Biện luận số nghiệm phương trình: $x^3 + 3x^2 + 1 - 2m = 0$ - Phương trình: $x^3 + 3x^2 + 1 = 2m$ - Nếu $2m < -2$, phương trình có 1 nghiệm. - Nếu $2m = -2$, phương trình có 2 nghiệm. - Nếu $-2 < 2m < 2$, phương trình có 3 nghiệm. - Nếu $2m > 2$, phương trình có 1 nghiệm. 6) Biện luận số nghiệm phương trình: $-x^3 - 3x^2 + 1 - m = 0$ Bài 4: $y = x^4 - 2x^2 + 1$ - Tìm đạo hàm: $y' = 4x^3 - 4x$ - Tìm điểm cực trị: $y' = 0 \Rightarrow 4x^3 - 4x = 0 \Rightarrow 4x(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$ hoặc $x = -1$ - $y' > 0$ khi $-1 < x < 0$ hoặc $x > 1$ - $y' < 0$ khi $x < -1$ hoặc $0 < x < 1$ - $y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$ - $y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 1 = 1$ - $y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$ - Đồ thị: Đồ thị có dạng W, với điểm cực đại $(0, 1)$ và điểm cực tiểu $(-1, 0)$ và $(1, 0)$. 2) Biện luận số nghiệm phương trình: $x^4 - 2x^2 + 3 - 2m = 0$ - Phương trình: $x^4 - 2x^2 + 3 = 2m$ - Nếu $2m < 0$, phương trình có 0 nghiệm. - Nếu $2m = 0$, phương trình có 2 nghiệm. - Nếu $0 < 2m < 1$, phương trình có 4 nghiệm. - Nếu $2m = 1$, phương trình có 3 nghiệm. - Nếu $2m > 1$, phương trình có 2 nghiệm. 3) Biện luận số nghiệm phương trình: $x^4 - 2x^2 - 5m = 0$ - Phương trình: $x^4 - 2x^2 = 5m$ - Nếu $5m < 0$, phương trình có 0 nghiệm. - Nếu $5m = 0$, phương trình có 2 nghiệm. - Nếu $0 < 5m < 1$, phương trình có 4 nghiệm. - Nếu $5m = 1$, phương trình có 3 nghiệm. - Nếu $5m > 1$, phương trình có 2 nghiệm. 4) Biện luận số nghiệm phương trình: $-x^4 + 2x^2 + 3 - 2m = 0$ - Phương trình: $-x^4 + 2x^2 + 3 = 2m$ 5) Biện luận số nghiệm phương trình: $2x^4 - 4x^2 + 3 - 2m = 0$ - Phương trình: $2x^4 - 4x^2 + 3 = 2m$ Bài 5: $y = -x^4 + 2x^2$ - Tìm đạo hàm: $y' = -4x^3 + 4x$ - Tìm điểm cực trị: $y' = 0 \Rightarrow -4x^3 + 4x = 0 \Rightarrow 4x(1 - x^2) = 0 \Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$ hoặc $x = -1$ Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.