*Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), có AH là đường cao. 1. Chứng minh ∆AHB ∽ ∆CHA. 2. Tia phân giác của HAC cắt BC tại M; tia phân giác của góc ABC cắt AH tại N, cắt AM tại P, cắt AC tại Q. Chứng...

1. Chứng minh ∆AHB ∽ ∆CHA. - Ta có ∠AHB = ∠CHA = 90° (vì AH là đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC vuông tại A). - ∠BAH = ∠CAH (góc chung). Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có ∆AHB ∽ ∆CHA. 2. a. Chứng minh BP ⊥ AM. - Vì tia phân giác của góc HAC cắt BC tại M, nên ta có ∠HAM = ∠CAM. - Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại N, cắt AM tại P, cắt AC tại Q. - Xét ∆ABM và ∆ACM, ta có: - ∠BAM = ∠CAM (tia phân giác của góc HAC). - AB = AC (do ∆ABC vuông tại A và AB < AC). - AM chung. Do đó, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh, ta có ∆ABM ≅ ∆ACM. - Từ đó, ta có BM = CM và ∠AMB = ∠AMC. - Vì ∠AMB + ∠AMC = 180° (hai góc kề bù), nên ∠AMB = ∠AMC = 90°. - Do đó, BP ⊥ AM. b. Chứng minh MQ // AH. - Vì tia phân giác của góc ABC cắt AH tại N, cắt AM tại P, cắt AC tại Q, nên ta có ∠ABN = ∠CBN. - Xét ∆ABN và ∆CBN, ta có: - ∠ABN = ∠CBN (tia phân giác của góc ABC). - BN chung. - ∠ANB = ∠CNB (góc chung). Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có ∆ABN ∽ ∆CBN. - Từ đó, ta có \frac{AN}{CN} = \frac{BN}{BN} = 1, tức là AN = CN. - Vì AN = CN và ∠ANQ = ∠CNQ (góc chung), nên ta có ∠ANQ = ∠CNQ. - Do đó, MQ // AH (theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song). c. Chứng minh S∆BNC = S∆ABQ. - Vì tia phân giác của góc ABC cắt AH tại N, cắt AM tại P, cắt AC tại Q, nên ta có ∠ABN = ∠CBN. - Xét ∆ABN và ∆CBN, ta có: - ∠ABN = ∠CBN (tia phân giác của góc ABC). - BN chung. - ∠ANB = ∠CNB (góc chung). Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có ∆ABN ∽ ∆CBN. - Từ đó, ta có \frac{AN}{CN} = \frac{BN}{BN} = 1, tức là AN = CN. - Vì AN = CN và ∠ANQ = ∠CNQ (góc chung), nên ta có ∠ANQ = ∠CNQ. - Do đó, MQ // AH (theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song). - Vì MQ // AH và ∠AMQ = ∠AHC (góc đồng vị), nên ta có ∠AMQ = ∠AHC. - Từ đó, ta có S∆BNC = S∆ABQ (diện tích hai tam giác bằng nhau vì có cùng đáy và chiều cao).