Câu 1.
Để xác định đồ thị của hàm số nào có dạng như đường cong trong hình vẽ, chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của mỗi hàm số đã cho.
1. Kiểm tra tính chẵn lẻ của các hàm số:
- Hàm số không phải là hàm chẵn cũng không phải là hàm lẻ.
- Hàm số không phải là hàm chẵn cũng không phải là hàm lẻ.
- Hàm số không phải là hàm chẵn cũng không phải là hàm lẻ.
- Hàm số không phải là hàm chẵn cũng không phải là hàm lẻ.
2. Kiểm tra giới hạn khi :
- Hàm số :
- Hàm số :
- Hàm số :
- Hàm số :
3. Kiểm tra điểm cực trị:
- Hàm số :
Kiểm tra dấu của :
- khi
- khi hoặc
Vậy hàm số đạt cực đại tại và cực tiểu tại .
- Hàm số :
Kiểm tra dấu của :
- khi
- khi hoặc
Vậy hàm số đạt cực đại tại và cực tiểu tại .
- Hàm số :
Kiểm tra dấu của :
- khi hoặc
- khi
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại và cực đại tại .
- Hàm số :
Kiểm tra dấu của :
- khi hoặc
- khi
Vậy hàm số đạt cực đại tại và cực tiểu tại .
4. So sánh với hình vẽ:
- Đồ thị trong hình vẽ có dạng uốn cong xuống ở phía trái và lên ở phía phải, và có hai điểm cực trị.
- Hàm số có dạng uốn cong xuống ở phía trái và lên ở phía phải, và có hai điểm cực trị tại và .
Vậy đồ thị của hàm số có dạng như đường cong trong hình vẽ.
Đáp án đúng là: .
Câu 2.
Để tìm độ dài của vectơ , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định các vectơ:
- Vectơ là vectơ từ điểm D đến điểm A.
- Vectơ là vectơ từ điểm D đến điểm C.
- Vectơ là vectơ từ điểm D đến điểm D'.
2. Tính tổng các vectơ:
- Ta có .
- Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương cạnh 4, nên các vectơ này đều có độ dài bằng cạnh của hình lập phương.
3. Tìm độ dài của tổng các vectơ:
- Độ dài của mỗi vectơ là 4.
- Ta sử dụng công thức tính độ dài của tổng các vectơ trong không gian:
- Thay các giá trị vào:
Vậy độ dài của vectơ là .
Đáp án đúng là: B. .
Câu 3.
Hàm số là hàm số lượng giác với đối số là hằng số 2025.
Trong phạm vi kiến thức lớp 12, ta biết rằng hàm sin của bất kỳ giá trị nào cũng nằm trong khoảng từ -1 đến 1. Do đó, giá trị của cũng sẽ nằm trong khoảng này.
Vậy tập giá trị của hàm số là .
Đáp án đúng là: A. .
Câu 4.
Để tìm khoảng chứa trung vị, ta cần tính tổng số học sinh và xác định vị trí của trung vị trong dãy số đã sắp xếp.
Tổng số học sinh:
Trung vị sẽ nằm ở vị trí:
Ta xét từng trường hợp để xác định khoảng chứa trung vị:
1. Nếu :
- Vị trí 34 thuộc khoảng [8;8,5)
- Vị trí 35 thuộc khoảng [8;8,5)
2. Nếu :
Ta thấy rằng, bất kể là bao nhiêu, trung vị vẫn sẽ nằm trong khoảng [8;8,5) vì:
- Tổng số học sinh từ 8 đến 24 là 58 học sinh.
- Khi thêm học sinh vào khoảng [8,5;9), trung vị vẫn sẽ nằm trong khoảng [8;8,5).
Do đó, khoảng chứa trung vị là:
Đáp án: D. [8,8,5]
Câu 5.
Trước tiên, ta cần hiểu rõ về cấp số cộng. Cấp số cộng là dãy số trong đó mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với một hằng số cố định gọi là công sai.
Số hạng tổng quát của cấp số cộng được tính theo công thức:
Giải thích từng bước:
1. là số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
2. là chỉ số của số hạng cần tìm.
3. là công sai của cấp số cộng.
4. là số lần mà công sai được cộng vào số hạng đầu tiên để tìm đến số hạng thứ .
Do đó, công thức đúng là:
Đáp án:
Câu 6.
Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong một tứ diện đều, tất cả các cạnh đều có cùng độ dài . Ta sẽ tính tích vô hướng của hai vectơ và .
1. Tìm góc giữa hai vectơ và :
- Trong tứ diện đều, góc giữa hai cạnh chung từ một đỉnh là . Do đó, góc giữa và là .
2. Tính tích vô hướng:
- Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ và là:
- Ở đây, và , và .
3. Áp dụng công thức:
- Biết rằng , ta có:
Vậy, tích vô hướng của và là .
Đáp án đúng là: .
Câu 7.
Để lập luận từng bước về hàm số dựa vào bảng biến thiên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định miền xác định:
Hàm số xác định trên . Điều này có nghĩa là hàm số không xác định tại điểm .
2. Xét giới hạn khi tiến đến vô cùng:
- Khi , .
- Khi , .
3. Xét giới hạn khi tiến đến điểm không xác định:
- Khi , .
- Khi , .
4. Xét các điểm cực trị:
- Hàm số đạt cực tiểu tại với giá trị .
- Hàm số đạt cực đại tại với giá trị .
5. Xét các khoảng đồng biến và nghịch biến:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng và .
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng và .
6. Xét các giao điểm với trục tọa độ:
- Giao điểm với trục (khi ): .
- Giao điểm với trục (khi ): tại .
7. Tóm tắt các tính chất của hàm số:
- Hàm số xác định trên .
- Giới hạn khi là và khi là .
- Giới hạn khi là và khi là .
- Cực tiểu tại với giá trị .
- Cực đại tại với giá trị .
- Đồng biến trên các khoảng và .
- Nghịch biến trên các khoảng và .
- Giao điểm với trục tại .
- Giao điểm với trục tại .
Như vậy, chúng ta đã lập luận từng bước về các tính chất của hàm số dựa vào bảng biến thiên.