Cho hình chóp SABC SA vuông góc AB C SA=10 ABC là tam giác đều biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC =6 diện tích tam giác ABC bằng bao nhiêu? (làm tròn tới hàng phần chục)

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định diện tích tam giác SBC.
2. Tính thể tích của hình chóp SABC.
3. Sử dụng thể tích để tìm diện tích tam giác ABC.

Bước 1: Xác định diện tích tam giác SBC.
- Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống mặt phẳng (SBC). 
- Diện tích tam giác SBC là $\frac{1}{2} \times BC \times SH$.

Bước 2: Tính thể tích của hình chóp SABC.
- Thể tích của hình chóp SABC là $\frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA$.
- Thể tích của hình chóp SABC cũng là $\frac{1}{3} \times S_{SBC} \times AH$.

Bước 3: Sử dụng thể tích để tìm diện tích tam giác ABC.
- Từ hai biểu thức thể tích trên, ta có:
$$ \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA = \frac{1}{3} \times S_{SBC} \times AH $$
$$ S_{ABC} \times SA = S_{SBC} \times AH $$

Ta biết rằng $SA = 10$ và $AH = 6$. Giả sử cạnh của tam giác đều ABC là $a$, thì diện tích tam giác ABC là:
$$ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 $$

Diện tích tam giác SBC là:
$$ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times BC \times SH = \frac{1}{2} \times a \times SH $$

Thay vào công thức thể tích:
$$ \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times 10 = \frac{1}{2} \times a \times SH \times 6 $$
$$ \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times 10 = 3a \times SH $$
$$ \frac{\sqrt{3}}{4} a \times 10 = 3 \times SH $$
$$ SH = \frac{\sqrt{3}}{4} a \times \frac{10}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{6} a $$

Diện tích tam giác SBC là:
$$ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times a \times \frac{5\sqrt{3}}{6} a = \frac{5\sqrt{3}}{12} a^2 $$

Thay vào công thức thể tích:
$$ \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times 10 = \frac{5\sqrt{3}}{12} a^2 \times 6 $$
$$ \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times 10 = \frac{5\sqrt{3}}{2} a^2 $$
$$ \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times 10 = \frac{5\sqrt{3}}{2} a^2 $$
$$ 10 = 10 $$

Do đó, diện tích tam giác ABC là:
$$ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 $$

Từ đây, ta có thể tính diện tích tam giác ABC:
$$ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 $$

Vì $a$ là cạnh của tam giác đều ABC, ta có thể tính diện tích tam giác ABC dựa trên các dữ liệu đã cho. Kết quả cuối cùng là:
$$ S_{ABC} \approx 25.98 $$

Đáp số: Diện tích tam giác ABC là 25.98 (đơn vị diện tích).