giai giu toiii

Câu 7. Để giải bất phương trình \((\frac{1}{2})^{-1} z \frac{1}{4}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Bất phương trình này không chứa các biểu thức yêu cầu điều kiện xác định cụ thể, do đó ĐKXĐ là tất cả các số thực. 2. Giải bất phương trình: - Đầu tiên, ta tính giá trị của \((\frac{1}{2})^{-1}\): \[ (\frac{1}{2})^{-1} = 2 \] - Thay vào bất phương trình, ta có: \[ 2z \frac{1}{4} \] 3. Chia cả hai vế của bất phương trình cho 2: - Ta chia cả hai vế của bất phương trình cho 2 để đơn giản hóa: \[ z \frac{1}{4} \div 2 \] \[ z \frac{1}{8} \] 4. Kết luận: - Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[ z > \frac{1}{8} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~z>\frac{1}{8}} \] Câu 8. Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{3x - 2}{x - 3} \), ta sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: - \( u = 3x - 2 \) - \( v = x - 3 \) Tính đạo hàm của \( u \) và \( v \): - \( u' = 3 \) - \( v' = 1 \) Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(3)(x - 3) - (3x - 2)(1)}{(x - 3)^2} \] Rút gọn biểu thức ở tử số: \[ y' = \frac{3x - 9 - 3x + 2}{(x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{-7}{(x - 3)^2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~y' = \frac{-7}{(x - 3)^2} \] Câu 9. Để xác định khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), ta cần tìm hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng (SBC). Trước tiên, ta nhận thấy rằng: - Tam giác ABC là tam giác cân tại B, do đó J là trung điểm của AC và cũng là chân đường cao hạ từ B xuống AC. - Mặt phẳng (SBC) chứa cạnh SB và SC, và vì SS vuông góc với đáy ABC, nên SS cũng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Do đó, để tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), ta cần tìm hình chiếu của A lên đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SBC). Ta sẽ kiểm tra từng trường hợp: 1. Hình chiếu của A lên SJ: - SJ nằm trong mặt phẳng (ABC) và không nằm trong mặt phẳng (SBC), do đó AK không thể là hình chiếu của A lên SJ. 2. Hình chiếu của A lên SB: - SB nằm trong mặt phẳng (SBC), nhưng hình chiếu của A lên SB không phải là đường thẳng vuông góc từ A xuống SB, do đó AK không phải là hình chiếu của A lên SB. 3. Hình chiếu của A lên SC: - SC nằm trong mặt phẳng (SBC), nhưng hình chiếu của A lên SC không phải là đường thẳng vuông góc từ A xuống SC, do đó AK không phải là hình chiếu của A lên SC. 4. Hình chiếu của A lên SM: - SM nằm trong mặt phẳng (SBC) và là đường thẳng nối giữa S và M (trung điểm của BC). Vì SS vuông góc với đáy ABC, nên SM cũng nằm trong mặt phẳng (SBC). Do đó, hình chiếu của A lên SM sẽ là đường thẳng vuông góc từ A xuống SM, và ta có thể gọi giao điểm này là K. Vậy, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) là \( d(A, (SBC)) = AK \) với K là hình chiếu của A lên SM. Đáp án đúng là: D. \( d(A, (SBC)) = AK \) với K là hình chiếu của A lên SM. Câu 10. Để tính giá trị của biểu thức $I = \log_{1}\left(\frac{a^2}{4}\right)$, ta cần lưu ý rằng $\log_{1}(x)$ không tồn tại vì cơ số của logarit phải lớn hơn 0 và khác 1. Do đó, biểu thức này không có nghĩa. Tuy nhiên, nếu giả sử rằng có một lỗi trong đề bài và cơ số của logarit là 2 thay vì 1, ta sẽ có: \[ I = \log_{2}\left(\frac{a^2}{4}\right) \] Ta sử dụng công thức của logarit để biến đổi biểu thức: \[ \log_{2}\left(\frac{a^2}{4}\right) = \log_{2}(a^2) - \log_{2}(4) \] Biến đổi tiếp tục: \[ \log_{2}(a^2) = 2 \log_{2}(a) \] \[ \log_{2}(4) = \log_{2}(2^2) = 2 \] Do đó: \[ I = 2 \log_{2}(a) - 2 \] Vì a là số thực dương khác 2, ta không thể biết giá trị cụ thể của $\log_{2}(a)$, nhưng ta thấy rằng biểu thức $2 \log_{2}(a) - 2$ không nằm trong các lựa chọn đã cho. Như vậy, nếu cơ số của logarit là 1, biểu thức không có nghĩa. Nếu cơ số là 2, biểu thức không nằm trong các lựa chọn đã cho. Vậy đáp án đúng là không có trong các lựa chọn A, B, C, D. Câu 11. Để tìm thể tích của khối lăng trụ, ta sử dụng công thức thể tích của khối lăng trụ, đó là: \[ V = S \times h \] Trong đó: - \( S \) là diện tích đáy của khối lăng trụ. - \( h \) là chiều cao của khối lăng trụ. Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~V = Sh \] Lập luận từng bước: 1. Xác định diện tích đáy của khối lăng trụ là \( S \). 2. Xác định chiều cao của khối lăng trụ là \( h \). 3. Áp dụng công thức thể tích của khối lăng trụ: \( V = S \times h \). Vậy, thể tích của khối lăng trụ là \( V = Sh \). Đáp án đúng là \( A.~V = Sh \). Câu 12. Ta có: \[ \lim_{x \to -2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 5 \] Nhận thấy rằng biểu thức trên có dạng của đạo hàm của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x = 2 \). Cụ thể, đạo hàm của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x = 2 \) được định nghĩa là: \[ f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} \] Tuy nhiên, trong bài toán này, giới hạn được tính khi \( x \to -2 \). Điều này có thể gây hiểu lầm ban đầu, nhưng ta cần lưu ý rằng biểu thức giới hạn đã cho vẫn có dạng của đạo hàm tại điểm \( x = 2 \). Do đó, ta có: \[ f'(2) = 5 \] Vậy khẳng định đúng là: \[ B.~f'(2) = 5 \] Câu 1. Để giải quyết các câu hỏi về thể tích, góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong hình chóp S.ABCD, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Thể tích khối chóp S.ABCD Thể tích của khối chóp S.ABCD được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] - Diện tích đáy ABCD là hình chữ nhật với \( AB = a\sqrt{2} \) và \( AC = a\sqrt{3} \). Ta cần tìm chiều dài \( AD \): \[ AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 - (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{3a^2 - 2a^2} = a \] Vậy diện tích đáy \( ABCD \) là: \[ S_{ABCD} = AB \times AD = a\sqrt{2} \times a = a^2\sqrt{2} \] - Chiều cao của chóp là \( SA = 2a \). Do đó, thể tích của chóp S.ABCD là: \[ V = \frac{1}{3} \times a^2\sqrt{2} \times 2a = \frac{2a^3\sqrt{2}}{3} \] b) Góc giữa hai mặt phẳng BSC và SAD Gọi \( \beta = [B, S, C] \). Để tìm \( \tan \beta \), ta cần tìm góc giữa hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng BSC và SAD. - Mặt phẳng BSC có vectơ pháp tuyến \( \vec{n_1} \) và mặt phẳng SAD có vectơ pháp tuyến \( \vec{n_2} \). Ta có: \[ \vec{SB} = (a\sqrt{2}, 0, -2a) \] \[ \vec{SC} = (0, a, -2a) \] Tích ngoài của hai vectơ này: \[ \vec{n_1} = \vec{SB} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a\sqrt{2} & 0 & -2a \\ 0 & a & -2a \end{vmatrix} = (2a^2, 2a^2\sqrt{2}, a^2\sqrt{2}) \] Mặt phẳng SAD có: \[ \vec{SA} = (0, 0, -2a) \] \[ \vec{SD} = (-a\sqrt{2}, a, -2a) \] Tích ngoài của hai vectơ này: \[ \vec{n_2} = \vec{SA} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -2a \\ -a\sqrt{2} & a & -2a \end{vmatrix} = (2a^2, 2a^2\sqrt{2}, 0) \] Góc giữa hai vectơ pháp tuyến: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{(2a^2, 2a^2\sqrt{2}, a^2\sqrt{2}) \cdot (2a^2, 2a^2\sqrt{2}, 0)}{\sqrt{(2a^2)^2 + (2a^2\sqrt{2})^2 + (a^2\sqrt{2})^2} \sqrt{(2a^2)^2 + (2a^2\sqrt{2})^2}} \] \[ \cos \theta = \frac{4a^4 + 8a^4}{\sqrt{4a^4 + 8a^4 + 2a^4} \sqrt{4a^4 + 8a^4}} = \frac{12a^4}{\sqrt{14a^4} \sqrt{12a^4}} = \frac{12a^4}{\sqrt{168a^8}} = \frac{12a^4}{4a^4\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{21}} \] \[ \tan \beta = \frac{\sqrt{2}}{2} \] c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB được tính bằng cách sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. - Đường thẳng SD có vectơ chỉ phương \( \vec{d_1} = (-a\sqrt{2}, a, -2a) \) - Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương \( \vec{d_2} = (a\sqrt{2}, 0, 0) \) Vectơ chỉ phương của đường thẳng SD và AB: \[ \vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -a\sqrt{2} & a & -2a \\ a\sqrt{2} & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0, 2a^2\sqrt{2}, -a^2\sqrt{2}) \] Khoảng cách giữa hai đường thẳng: \[ d = \frac{|(\vec{A} - \vec{S}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2})|}{|\vec{d_1} \times \vec{d_2}|} = \frac{|(0, 0, 2a) \cdot (0, 2a^2\sqrt{2}, -a^2\sqrt{2})|}{\sqrt{(2a^2\sqrt{2})^2 + (-a^2\sqrt{2})^2}} = \frac{|0 + 0 - 2a^3\sqrt{2}|}{\sqrt{8a^4 + 2a^4}} = \frac{2a^3\sqrt{2}}{\sqrt{10a^4}} = \frac{2a^3\sqrt{2}}{a^2\sqrt{10}} = \frac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{2a\sqrt{5}}{5} \] d) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) được tính bằng cách sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. - Mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (2a^2, 2a^2\sqrt{2}, a^2\sqrt{2}) \) - Điểm A có tọa độ (0, 0, 0) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC): \[ d = \frac{|2a^2 \cdot 0 + 2a^2\sqrt{2} \cdot 0 + a^2\sqrt{2} \cdot 0 - D|}{\sqrt{(2a^2)^2 + (2a^2\sqrt{2})^2 + (a^2\sqrt{2})^2}} = \frac{|0 - D|}{\sqrt{4a^4 + 8a^4 + 2a^4}} = \frac{|D|}{\sqrt{14a^4}} = \frac{|D|}{a^2\sqrt{14}} \] Với \( D = 2a^3 \): \[ d = \frac{2a^3}{a^2\sqrt{14}} = \frac{2a}{\sqrt{14}} = \frac{a\sqrt{14}}{7} \] Đáp án cuối cùng: a) Thể tích khối chóp S.ABCD: \( \frac{2a^3\sqrt{2}}{3} \) b) Góc giữa hai mặt phẳng BSC và SAD: \( \tan \beta = \frac{\sqrt{2}}{2} \) c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB: \( \frac{2a\sqrt{5}}{5} \) d) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC): \( \frac{a\sqrt{3}}{3} \)