Giúp em với ạ

Câu 1. Để xác định hàm số nào nghịch biến trên $\mathbb{R}$, chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của mỗi hàm số. A. $y = 2^n$ Hàm số này là hàm mũ cơ sở 2, và hàm mũ cơ sở lớn hơn 1 luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó, hàm số này không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B. $y = \frac{x + 3}{2x - 2}$ Đây là hàm phân thức. Để kiểm tra tính chất biến thiên của hàm phân thức, chúng ta cần tìm đạo hàm của nó: \[ y' = \left( \frac{x + 3}{2x - 2} \right)' = \frac{(2x - 2) \cdot 1 - (x + 3) \cdot 2}{(2x - 2)^2} = \frac{2x - 2 - 2x - 6}{(2x - 2)^2} = \frac{-8}{(2x - 2)^2} \] Vì $(2x - 2)^2 > 0$ với mọi $x \neq 1$, nên $y' < 0$ với mọi $x \neq 1$. Tuy nhiên, hàm số này không xác định tại $x = 1$, do đó nó không nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$. C. $y = -x^3 + 3x^2 - 3x + 2$ Đây là hàm đa thức bậc 3. Chúng ta sẽ tìm đạo hàm của nó để kiểm tra tính chất biến thiên: \[ y' = (-x^3 + 3x^2 - 3x + 2)' = -3x^2 + 6x - 3 \] Đạo hàm này là một hàm bậc 2, và chúng ta cần kiểm tra dấu của nó: \[ y' = -3(x^2 - 2x + 1) = -3(x - 1)^2 \] Vì $(x - 1)^2 \geq 0$ với mọi $x$, nên $-3(x - 1)^2 \leq 0$ với mọi $x$. Đặc biệt, $y' = 0$ khi $x = 1$. Do đó, hàm số này nghịch biến trên $\mathbb{R}$. D. $y = \cos x$ Hàm cosin là hàm tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$, và nó không nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Hàm cosin tăng và giảm luân phiên trong mỗi chu kỳ. Từ các phân tích trên, chúng ta thấy rằng hàm số $y = -x^3 + 3x^2 - 3x + 2$ là hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Đáp án đúng là: C. $y = -x^3 + 3x^2 - 3x + 2$. Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần dựa vào đồ thị của hàm số $y = f(x)$ để xác định các giá trị của hàm số tại các điểm cụ thể. 1. Khẳng định A: $f(0) > 0$ - Trên đồ thị, điểm $(0, f(0))$ nằm phía trên trục hoành, tức là $f(0)$ là một giá trị dương. Do đó, khẳng định này là đúng. 2. Khẳng định B: $f(3) < 0$ - Trên đồ thị, điểm $(3, f(3))$ nằm phía dưới trục hoành, tức là $f(3)$ là một giá trị âm. Do đó, khẳng định này là đúng. 3. Khẳng định C: $f(-1) < 0$ - Trên đồ thị, điểm $(-1, f(-1))$ nằm phía trên trục hoành, tức là $f(-1)$ là một giá trị dương. Do đó, khẳng định này là sai. 4. Khẳng định D: $f(-20) < 0$ - Trên đồ thị, không có thông tin về giá trị của $f(-20)$. Tuy nhiên, nếu chúng ta giả sử rằng đồ thị của hàm số $y = f(x)$ tiếp tục xu hướng giảm dần theo chiều từ trái sang phải, thì có thể suy ra rằng $f(-20)$ cũng sẽ là một giá trị âm. Tuy nhiên, vì không có dữ liệu chính xác về giá trị này trên đồ thị, chúng ta không thể chắc chắn khẳng định này là đúng hay sai. Từ những phân tích trên, chúng ta thấy rằng khẳng định B ($f(3) < 0$) là khẳng định đúng. Đáp án: B. $f(3) < 0$. Câu 3. Cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công sai $d = -5$. Công thức tính số hạng thứ $n$ của cấp số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Để tìm giá trị của $u_0$, ta thay $n = 0$ vào công thức trên: \[ u_0 = u_1 + (0-1)d \] \[ u_0 = 3 + (-1)(-5) \] \[ u_0 = 3 + 5 \] \[ u_0 = 8 \] Nhưng trong các đáp án đã cho, không có giá trị 8. Do đó, ta cần kiểm tra lại đề bài và các đáp án đã cho để đảm bảo rằng mình đã hiểu đúng yêu cầu của bài toán. Tuy nhiên, nếu giả sử rằng đề bài có thể có lỗi hoặc thiếu sót, thì ta sẽ chọn đáp án gần đúng nhất trong các đáp án đã cho. Trong trường hợp này, đáp án gần đúng nhất là: Đáp án: C. -22 Nhưng theo công thức và tính toán, giá trị của $u_0$ là 8, không phải -22. Vì vậy, có thể đề bài hoặc đáp án đã cho có vấn đề. Câu 4. Ta có: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$ Vậy đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{BD}$ Câu 5. Để tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều ABC - A'B'C', ta cần biết diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ. 1. Tính diện tích đáy (S): Diện tích đáy của lăng trụ tam giác đều là diện tích của tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Diện tích của tam giác đều được tính bằng công thức: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] 2. Tính chiều cao của lăng trụ (h): Chiều cao của lăng trụ là khoảng cách từ đỉnh A' đến mặt phẳng (ABC). Vì lăng trụ tam giác đều, chiều cao này cũng là khoảng cách từ tâm O của tam giác đều ABC đến đỉnh A'. Ta có thể sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể sử dụng trực tiếp chiều cao của lăng trụ đã cho là 2a. 3. Tính thể tích của khối lăng trụ (V): Thể tích của khối lăng trụ được tính bằng công thức: \[ V = S_{ABC} \times h \] Thay các giá trị đã tính vào: \[ V = \left( \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \right) \times 2a = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times 2a = \frac{\sqrt{3}}{2} a^3 \] Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC - A'B'C' là: \[ \boxed{\frac{\sqrt{3}}{2} a^3} \] Đáp án đúng là: B. $\frac{\sqrt{3}}{2} a^3$. Câu 6. Để tìm tứ phân vị thứ nhất (Q1) của mỗi mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần xác định nhóm chứa Q1 và sau đó tính toán giá trị cụ thể của Q1 trong nhóm đó. Mẫu số liệu ghép nhóm A: - Tổng số lượng dữ liệu: \( n_A = 12 + 25 + 18 + 10 + 2 = 67 \) - Vị trí của Q1: \( \frac{n_A}{4} = \frac{67}{4} = 16,75 \) Nhóm chứa Q1 là nhóm thứ hai (vì 12 < 16,75 < 37). Giá trị Q1 trong nhóm này được tính bằng công thức: \[ Q1 = L + \left( \frac{\frac{n}{4} - F}{f} \right) \times w \] Trong đó: - \( L \) là giới hạn dưới của nhóm chứa Q1: 2,0 - \( F \) là tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa Q1: 12 - \( f \) là tần số của nhóm chứa Q1: 25 - \( w \) là khoảng rộng của nhóm: 0,2 Thay vào công thức: \[ Q1 = 2,0 + \left( \frac{16,75 - 12}{25} \right) \times 0,2 \] \[ Q1 = 2,0 + \left( \frac{4,75}{25} \right) \times 0,2 \] \[ Q1 = 2,0 + 0,19 \times 0,2 \] \[ Q1 = 2,0 + 0,038 \] \[ Q1 = 2,038 \] Mẫu số liệu ghép nhóm B: - Tổng số lượng dữ liệu: \( n_B = 24 + 50 + 36 + 20 + 4 = 134 \) - Vị trí của Q1: \( \frac{n_B}{4} = \frac{134}{4} = 33,5 \) Nhóm chứa Q1 là nhóm thứ hai (vì 24 < 33,5 < 74). Giá trị Q1 trong nhóm này được tính bằng công thức: \[ Q1 = L + \left( \frac{\frac{n}{4} - F}{f} \right) \times w \] Trong đó: - \( L \) là giới hạn dưới của nhóm chứa Q1: 1,8 - \( F \) là tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa Q1: 24 - \( f \) là tần số của nhóm chứa Q1: 50 - \( w \) là khoảng rộng của nhóm: 0,2 Thay vào công thức: \[ Q1 = 1,8 + \left( \frac{33,5 - 24}{50} \right) \times 0,2 \] \[ Q1 = 1,8 + \left( \frac{9,5}{50} \right) \times 0,2 \] \[ Q1 = 1,8 + 0,19 \times 0,2 \] \[ Q1 = 1,8 + 0,038 \] \[ Q1 = 1,838 \] Kết luận: - \( Q1_A = 2,038 \) - \( Q1_B = 1,838 \) Ta thấy rằng \( Q1_A = 2,038 \) và \( Q1_B = 1,838 \). Do đó, \( Q1_A = 0,2 + Q1_B \). Vậy khẳng định đúng là: \[ C.~Q^\prime=0,2+Q^\prime \] Câu 7. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_3(x-1) \leq 1$, ta cần đảm bảo rằng $x-1 > 0$. Do đó: \[ x > 1 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có: \[ \log_3(x-1) \leq 1 \] - Điều này tương đương với: \[ x-1 \leq 3^1 \] - Hay: \[ x-1 \leq 3 \] - Do đó: \[ x \leq 4 \] 3. Tìm giao của các điều kiện: - Kết hợp điều kiện $x > 1$ và $x \leq 4$, ta có: \[ 1 < x \leq 4 \] 4. Xác định các nghiệm nguyên: - Các giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn $1 < x \leq 4$ là: \[ x = 2, 3, 4 \] Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_3(x-1) \leq 1$ là 3. Đáp án: C. 3.