giải chi tiết

Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của parabol. 2. Tính diện tích của phần tô đen. 3. Tính diện tích của phần không tô đen. 4. Tính tổng chi phí trồng cỏ nhân tạo. Bước 1: Xác định phương trình của parabol Parabol có đỉnh tại điểm \(I\) với khoảng cách từ \(I\) đến \(AB\) là 10 m. Ta đặt tọa độ gốc \(O\) tại điểm giữa của đoạn thẳng \(AB\). Do đó, tọa độ của điểm \(I\) là \((0, 10)\). Phương trình của parabol có dạng: \[ y = ax^2 + bx + c \] Vì đỉnh của parabol là \((0, 10)\), ta có: \[ y = ax^2 + 10 \] Ta biết rằng parabol đi qua điểm \(A(-25, 0)\) và điểm \(B(25, 0)\). Thay tọa độ của điểm \(A\) vào phương trình: \[ 0 = a(-25)^2 + 10 \] \[ 0 = 625a + 10 \] \[ 625a = -10 \] \[ a = -\frac{10}{625} = -\frac{2}{125} \] Vậy phương trình của parabol là: \[ y = -\frac{2}{125}x^2 + 10 \] Bước 2: Tính diện tích của phần tô đen Diện tích của phần tô đen là diện tích dưới parabol từ \(x = -25\) đến \(x = 25\). Ta tính diện tích này bằng cách tích phân phương trình của parabol từ \(-25\) đến \(25\): \[ S_{\text{tô đen}} = 2 \int_{0}^{25} \left( -\frac{2}{125}x^2 + 10 \right) dx \] Tính tích phân: \[ \int_{0}^{25} \left( -\frac{2}{125}x^2 + 10 \right) dx = \left[ -\frac{2}{125} \cdot \frac{x^3}{3} + 10x \right]_{0}^{25} \] \[ = \left[ -\frac{2}{375}x^3 + 10x \right]_{0}^{25} \] \[ = \left( -\frac{2}{375}(25)^3 + 10(25) \right) - \left( -\frac{2}{375}(0)^3 + 10(0) \right) \] \[ = \left( -\frac{2}{375} \cdot 15625 + 250 \right) \] \[ = \left( -\frac{31250}{375} + 250 \right) \] \[ = \left( -83.33 + 250 \right) \] \[ = 166.67 \] Vậy diện tích của phần tô đen là: \[ S_{\text{tô đen}} = 2 \times 166.67 = 333.34 \text{ m}^2 \] Bước 3: Tính diện tích của phần không tô đen Diện tích toàn bộ sân bóng đá là: \[ S_{\text{tổng}} = 50 \times 30 = 1500 \text{ m}^2 \] Diện tích của phần không tô đen là: \[ S_{\text{không tô đen}} = 1500 - 333.34 = 1166.66 \text{ m}^2 \] Bước 4: Tính tổng chi phí trồng cỏ nhân tạo Chi phí trồng cỏ nhân tạo cho phần tô đen: \[ C_{\text{tô đen}} = 333.34 \times 140000 = 46667600 \text{ đồng} \] Chi phí trồng cỏ nhân tạo cho phần không tô đen: \[ C_{\text{không tô đen}} = 1166.66 \times 100000 = 116666000 \text{ đồng} \] Tổng chi phí là: \[ C_{\text{tổng}} = 46667600 + 116666000 = 163333600 \text{ đồng} \] Đổi sang đơn vị triệu đồng: \[ C_{\text{tổng}} = \frac{163333600}{1000000} = 163.33 \text{ triệu đồng} \] Vậy ông Nam phải trả số tiền là: \[ \boxed{163.33 \text{ triệu đồng}} \] Câu 5: Để tính đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi từ A đến bờ sông rồi đến B, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phản xạ điểm B qua bờ sông để tạo ra điểm B'. Khi đó, đoạn đường ngắn nhất từ A đến bờ sông rồi đến B sẽ tương đương với đoạn thẳng từ A đến B'. Bước 1: Xác định khoảng cách từ A đến bờ sông là 118m và từ B đến bờ sông là 487m. Bước 2: Xác định khoảng cách giữa A và B là 615m. Bước 3: Xác định khoảng cách từ B' đến bờ sông sẽ là 487m (do B' là điểm phản xạ của B qua bờ sông). Bước 4: Xác định khoảng cách từ A đến B' là: \[ AB' = \sqrt{(615)^2 + (487 - 118)^2} \] \[ AB' = \sqrt{615^2 + 369^2} \] \[ AB' = \sqrt{378225 + 136161} \] \[ AB' = \sqrt{514386} \] \[ AB' \approx 717.2 \text{ m} \] Vậy đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là khoảng 717.2 m. Đáp số: 717.2 m. Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính xác suất lấy được chính phẩm từ thùng II sau khi đã lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ thùng I sang thùng II. Ta sẽ xét hai trường hợp: lấy được chính phẩm từ thùng I và lấy được phế phẩm từ thùng I. Bước 1: Tính xác suất lấy được chính phẩm từ thùng I. - Số sản phẩm trong thùng I là 5 chính phẩm + 4 phế phẩm = 9 sản phẩm. - Xác suất lấy được chính phẩm từ thùng I là: \[ P(\text{chính phẩm từ thùng I}) = \frac{5}{9} \] Bước 2: Tính xác suất lấy được phế phẩm từ thùng I. - Xác suất lấy được phế phẩm từ thùng I là: \[ P(\text{phế phẩm từ thùng I}) = \frac{4}{9} \] Bước 3: Tính xác suất lấy được chính phẩm từ thùng II khi lấy chính phẩm từ thùng I sang thùng II. - Nếu lấy chính phẩm từ thùng I sang thùng II, thùng II sẽ có 7 chính phẩm và 8 phế phẩm. - Xác suất lấy được chính phẩm từ thùng II trong trường hợp này là: \[ P(\text{chính phẩm từ thùng II | chính phẩm từ thùng I}) = \frac{7}{15} \] Bước 4: Tính xác suất lấy được chính phẩm từ thùng II khi lấy phế phẩm từ thùng I sang thùng II. - Nếu lấy phế phẩm từ thùng I sang thùng II, thùng II sẽ có 6 chính phẩm và 9 phế phẩm. - Xác suất lấy được chính phẩm từ thùng II trong trường hợp này là: \[ P(\text{chính phẩm từ thùng II | phế phẩm từ thùng I}) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \] Bước 5: Tính tổng xác suất lấy được chính phẩm từ thùng II. - Áp dụng công thức xác suất tổng: \[ P(\text{chính phẩm từ thùng II}) = P(\text{chính phẩm từ thùng I}) \times P(\text{chính phẩm từ thùng II | chính phẩm từ thùng I}) + P(\text{phế phẩm từ thùng I}) \times P(\text{chính phẩm từ thùng II | phế phẩm từ thùng I}) \] \[ P(\text{chính phẩm từ thùng II}) = \left( \frac{5}{9} \times \frac{7}{15} \right) + \left( \frac{4}{9} \times \frac{2}{5} \right) \] \[ P(\text{chính phẩm từ thùng II}) = \left( \frac{35}{135} \right) + \left( \frac{8}{45} \right) \] \[ P(\text{chính phẩm từ thùng II}) = \left( \frac{35}{135} \right) + \left( \frac{24}{135} \right) \] \[ P(\text{chính phẩm từ thùng II}) = \frac{59}{135} \approx 0.436 \] Vậy xác suất lấy được chính phẩm từ thùng II là khoảng 0.44 hoặc 44%.