Câu 9.
Để tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng :
Mặt phẳng có phương trình . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là .
2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng :
Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng , nên vectơ chỉ phương của đường thẳng trùng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng là .
3. Lập phương trình đường thẳng :
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Phương trình tham số của đường thẳng là:
hoặc viết dưới dạng phương trình đoạn thẳng:
Do đó, phương trình của đường thẳng là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 10.
Phương pháp giải:
Mặt cầu có tâm và bán kính .
Áp dụng vào bài toán:
Ta có phương trình mặt cầu .
So sánh với phương trình tổng quát của mặt cầu, ta nhận thấy:
- Tâm của mặt cầu là .
- Bán kính của mặt cầu là (vì ).
Do đó, tọa độ tâm của mặt cầu là .
Đáp án đúng là: .
Câu 11.
Để tìm phương trình mặt cầu (S) có tâm và đi qua điểm , ta thực hiện các bước sau:
1. Tính bán kính của mặt cầu:
Bán kính của mặt cầu là khoảng cách từ tâm đến điểm . Ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:
Thay tọa độ của và vào công thức:
2. Viết phương trình mặt cầu:
Phương trình mặt cầu có tâm và bán kính là:
Thay tâm và bán kính vào phương trình:
Vậy phương trình mặt cầu (S) là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 12.
Để tính xác suất người đó đi làm bằng xe buýt và đến đúng giờ, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định xác suất ban đầu.
- Xác suất để một nhân viên đi làm bằng xe buýt là 28%, tức là .
Bước 2: Xác định xác suất trong điều kiện đã biết.
- Trong số những nhân viên đi làm bằng xe buýt, xác suất để họ đến đúng giờ mỗi ngày là 91%, tức là .
Bước 3: Tính xác suất giao của hai sự kiện.
- Xác suất để một nhân viên đi làm bằng xe buýt và đến đúng giờ mỗi ngày là tích của xác suất ban đầu và xác suất trong điều kiện đã biết:
Bước 4: Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
- Làm tròn 0,2548 đến hàng phần trăm, ta được 0,25.
Vậy xác suất người đó đi làm bằng xe buýt và đến đúng giờ là 0,25.
Đáp án đúng là: B. 0,25.
Câu 1.
Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên thông tin đã cho và các kiến thức về nguyên hàm và tích phân.
a) Kiểm tra khẳng định
Ta biết rằng là một nguyên hàm của . Ta sẽ kiểm tra xem có thỏa mãn điều kiện này hay không.
Tính đạo hàm của :
Điều này đúng với .
Tiếp theo, ta kiểm tra điều kiện :
Do đó, khẳng định là đúng.
b) Kiểm tra khẳng định
Theo công thức tính tích phân:
Áp dụng vào bài toán:
Như vậy, khẳng định là sai vì nó viết thay vì .
c) Kiểm tra khẳng định
Trước tiên, ta cần biết rằng . Do đó:
Bây giờ, ta tính tích phân:
Áp dụng công thức tích phân:
Như vậy, khẳng định là đúng.
d) Kiểm tra khẳng định
Ta đã biết rằng . Tính đạo hàm của :
Như vậy, khẳng định là sai vì , không phải .
Kết luận:
- Khẳng định là đúng.
- Khẳng định là sai.
- Khẳng định là đúng.
- Khẳng định là sai.
Câu 2.
a) Đúng vì véctơ chỉ phương của đường thẳng d là
b) Thay t = -1 vào phương trình tham số của đường thẳng d ta được x = 0, y = -13, z = -3. Vậy điểm E(0; -13; -3) thuộc đường thẳng d. Do đó, khẳng định này sai.
c) Mặt phẳng đi qua điểm M(1; -5; 0) và vuông góc với d có phương trình là , tức là . Vậy khẳng định này đúng.
d) Gọi H(a; b; c) là hình chiếu vuông góc của điểm I trên đường thẳng d. Ta có và . Vì H là hình chiếu vuông góc của I trên d nên . Ta có:
(1)
Ta cũng có và cùng phương, do đó:
Từ đây ta có:
(2)
(3)
Thay (2) và (3) vào (1) ta có:
Thay b = 9,3 vào (2) ta có:
Thay b = 9,3 vào (3) ta có:
Vậy . Do đó, khẳng định này sai.