Bài 2.
2.1. Tính:
Ta có:
Do đó:
2.2. Cho
a) Rút gọn biểu thức A
Điều kiện xác định: và (vì mẫu số không được phép bằng 0)
Ta có:
Nhận thấy rằng , ta có thể quy đồng các phân thức:
Quy đồng mẫu số:
Rút gọn tử số:
Do đó:
b) Tính giá trị của A khi
Thay vào biểu thức đã rút gọn:
Đáp số:
2.1.
2.2. a)
b) khi
Bài 3.
a) Vẽ đồ thị hàm số :
- Lập bảng giá trị:
| x | y |
|---|---|
| -2 | 8 |
| -1 | 2 |
| 0 | 0 |
| 1 | 2 |
| 2 | 8 |
- Vẽ các điểm (-2, 8), (-1, 2), (0, 0), (1, 2), (2, 8) trên hệ trục tọa độ và nối chúng thành một đường cong.
b) Lập bảng tần số tương đối và vẽ biểu đồ cột:
- Tần số tương đối của số con 2:
- Tần số tương đối của số con 3:
- Tần số tương đối của số con 4:
- Tần số tương đối của số con 5:
Bảng tần số tương đối:
| Số con | Tần số tương đối |
|--------|------------------|
| 2 | 0,5 |
| 3 | 0,1 |
| 4 | 0,25 |
| 5 | 0,15 |
- Vẽ biểu đồ cột với các cột tương ứng với số con 2, 3, 4, 5 và chiều cao của các cột tương ứng với tần số tương đối.
c) Tính xác suất tổng số chấm xuất hiện trên xúc xắc và số ghi trên thẻ là số chia hết cho 3:
- Các kết quả có thể xảy ra khi gieo xúc xắc và rút thẻ là:
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4)
- Tổng số kết quả có thể xảy ra là 24.
- Các kết quả có tổng chia hết cho 3 là:
(1, 2), (2, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (5, 4), (6, 3)
- Số kết quả có tổng chia hết cho 3 là 8.
- Xác suất là:
Đáp số:
a) Đồ thị hàm số đã được vẽ.
b) Biểu đồ cột đã được vẽ.
c) Xác suất là .
Bài 4.
Gọi vận tốc của xe máy là (km/h), điều kiện .
Vì xe máy đi từ A đến B với quãng đường 135 km, nên thời gian xe máy đi từ A đến B là:
Vận tốc của ô tô là (km/h). Thời gian ô tô đi từ A đến B là:
Theo đề bài, xe máy đến B và ô tô đến A cùng một lúc, nhưng ô tô xuất phát muộn hơn 18 phút (tức là 0,3 giờ). Do đó ta có:
Thay các biểu thức vào phương trình trên:
Quy đồng mẫu số và giải phương trình:
Chia cả phương trình cho 0,3 để đơn giản hóa:
Giải phương trình bậc hai này bằng công thức:
Ta có hai nghiệm:
(loại vì )
Vậy vận tốc của xe máy là 45 km/h.
Quãng đường AB là 135 km.
Bài 5.
Câu 5.1:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết Góc C bằng
Tính AB, AC
Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:
- Góc B =
- Góc C =
Trong tam giác vuông có góc , cạnh đối diện với góc bằng nửa cạnh huyền. Do đó:
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABC:
Đáp số:
Câu 5.2:
Cho nội tiếp trong đường tròn (O). Các đường cao AG, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh Tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Chứng minh
a) Chứng minh Tứ giác AEHF nội tiếp:
Trong tam giác ABC cân tại A, đường cao AG cũng là đường trung trực của BC. Do đó, G là trung điểm của BC.
Xét tứ giác AEHF:
- Góc EAF và góc EFH đều là góc vuông (vì BE và CF là đường cao).
- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng của hai góc đối bằng 180°.
Do đó, tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Chứng minh :
Xét tam giác ACF và tam giác AFG:
- Góc CAF chung.
- Góc AFC và góc AFG đều là góc vuông.
Do đó, tam giác ACF và tam giác AFG đồng dạng theo tỉ lệ thức:
Nhân cả hai vế với AF và AC, ta được:
Vậy:
Đáp số:
a) Tứ giác AEHF nội tiếp.
b)