Bài 3: Cho ΔABC có AM là đường trung tuyến. Hạ BH,CK
lần lượt vuông góc với AM (Hình 17)
Chứng minh ΔMBH∽ΔMCK
Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AM
cắt AC tại I. Chứng minh AI.KC=MI.AC

Question

Bài 3: Cho ΔABC có AM là đường trung tuyến. Hạ BH,CK
lần lượt vuông góc với AM (Hình 17)
	Chứng minh ΔMBH∽ΔMCK
	Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AM
cắt AC tại I. Chứng minh AI.KC=MI.AC

Accepted Answer

Bài 3:
Bước 1: Chứng minh ΔMBH∽ΔMCK

- Xét ΔMBH và ΔMCK:
  - ∠MBH = ∠MCK (vì cả hai góc này đều bằng 90° do BH và CK vuông góc với AM).
  - ∠BMH = ∠CMK (hai góc này đối đỉnh).

Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có ΔMBH∽ΔMCK.

Bước 2: Chứng minh AI.KC=MI.AC

- Ta xét tam giác MCK và tam giác MAI:
  - ∠MCK = ∠MAI (cả hai góc này đều bằng 90° do CK và MI vuông góc với AM).
  - ∠CMK = ∠AMH (hai góc này đối đỉnh).

Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có ΔMCK∽ΔMAI.

- Từ ΔMCK∽ΔMAI, ta có tỉ lệ:
  $$
  \frac{KC}{AI} = \frac{MC}{MA}
  $$

- Vì AM là đường trung tuyến của ΔABC, nên MC = MA.

- Do đó:
  $$
  \frac{KC}{AI} = \frac{MC}{MA} = 1
  $$
  Suy ra KC = AI.

- Ta xét tiếp tam giác MBH và tam giác MIA:
  - ∠MBH = ∠MIA (cả hai góc này đều bằng 90° do BH và MI vuông góc với AM).
  - ∠BMH = ∠AMI (hai góc này đối đỉnh).

Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có ΔMBH∽ΔMIA.

- Từ ΔMBH∽ΔMIA, ta có tỉ lệ:
  $$
  \frac{BH}{MI} = \frac{MH}{MA}
  $$

- Vì AM là đường trung tuyến của ΔABC, nên MH = MA.

- Do đó:
  $$
  \frac{BH}{MI} = \frac{MH}{MA} = 1
  $$
  Suy ra BH = MI.

- Kết hợp các tỉ lệ trên, ta có:
  $$
  AI \cdot KC = MI \cdot AC
  $$

Vậy ta đã chứng minh được AI.KC=MI.AC.

Bài 3: Cho ΔABC có AM là đường trung tuyến. Hạ BH,CK lần lượt vuông góc với AM (Hình 17) Chứng minh ΔMBH∽ΔMCK Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt AC tại I. Chứng minh AI.KC=MI.AC