Bài 5: Cho hình thang ABCD có AB∥CD. Lấy I là trung điểm của DC.
Từ I kẻ IM∥AC (M∈AD) và IN∥BD (N∈BC) (Hình 19)
Chứng minh DM/DA=CN/CB
Chứng minh MI.BD=IN.AC

Question

Bài 5: Cho hình thang ABCD có AB∥CD. Lấy I là trung điểm của DC.
Từ I kẻ IM∥AC (M∈AD) và IN∥BD (N∈BC) (Hình 19)
	Chứng minh DM/DA=CN/CB
	Chứng minh MI.BD=IN.AC

Accepted Answer

Bài 5:
Chứng minh $\frac{DM}{DA}=\frac{CN}{CB}$

Xét tam giác $ADC$ có $I$ là trung điểm của $DC$ và $IM \parallel AC$

Theo định lý Ta-lét, ta có:

$$
\frac{DM}{DA} = \frac{DI}{DC}
$$

Vì $I$ là trung điểm của $DC$, nên $DI = \frac{DC}{2}$. Do đó:

$$
\frac{DI}{DC} = \frac{\frac{DC}{2}}{DC} = \frac{1}{2}
$$

Vậy:

$$
\frac{DM}{DA} = \frac{1}{2}
$$

Xét tam giác $BCD$ có $I$ là trung điểm của $DC$ và $IN \parallel BD$

Theo định lý Ta-lét, ta có:

$$
\frac{CN}{CB} = \frac{DI}{DC}
$$

Vì $I$ là trung điểm của $DC$, nên $DI = \frac{DC}{2}$. Do đó:

$$
\frac{DI}{DC} = \frac{\frac{DC}{2}}{DC} = \frac{1}{2}
$$

Vậy:

$$
\frac{CN}{CB} = \frac{1}{2}
$$

Từ đó ta có:

$$
\frac{DM}{DA} = \frac{CN}{CB}
$$

Chứng minh $MI \cdot BD = IN \cdot AC$

Xét tam giác $ABD$ có $IM \parallel AC$

Theo định lý Ta-lét, ta có:

$$
\frac{DM}{DA} = \frac{IM}{AC}
$$

Xét tam giác $BCD$ có $IN \parallel BD$

Theo định lý Ta-lét, ta có:

$$
\frac{CN}{CB} = \frac{IN}{BD}
$$

Ta đã chứng minh được:

$$
\frac{DM}{DA} = \frac{CN}{CB}
$$

Do đó:

$$
\frac{IM}{AC} = \frac{IN}{BD}
$$

Nhân cả hai vế với $AC \cdot BD$, ta được:

$$
IM \cdot BD = IN \cdot AC
$$

Vậy ta đã chứng minh được $MI \cdot BD = IN \cdot AC$.

Bài 5: Cho hình thang ABCD có AB∥CD. Lấy I là trung điểm của DC. Từ I kẻ IM∥AC (M∈AD) và IN∥BD (N∈BC) (Hình 19) Chứng minh DM/DA=CN/CB Chứng minh MI.BD=IN.AC