Giúp mình với! Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức $A=\frac{x^3-x}{x^2+1}.(\frac1{x^2-2x+1}+\frac1{1-x^2})-\frac{x^2+x+1}{x^3-1},$ với $x
e\pm1.$,Câu 2. (2,0 điểm) Cho các số thực $a,b,c
e0$ và không phải là các số đối của nhau, thỏa mãn,$ab+bc+ca=2025.$ Tính giá trị biểu thức: $B=\frac{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}{(a^2+2025)(b^2+2025)(c^2+2025)}.$,Câu 3. (2,0 điểm) Tìm x biết: $(\frac{x+1}{x-2})^2+\frac{x+1}{x-4}-12(\frac{x-2}{x-4})^2=0.$

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Điều kiện xác định: $ x \neq \pm 1 $

Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong biểu thức $ A $.

Phân tích $ x^3 - x $:
$$ x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1) $$

Phân tích $ x^2 + 1 $:
$$ x^2 + 1 \text{ không thể phân tích thêm} $$

Phân tích $ x^2 - 2x + 1 $:
$$ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 $$

Phân tích $ 1 - x^2 $:
$$ 1 - x^2 = -(x^2 - 1) = -(x - 1)(x + 1) $$

Phân tích $ x^3 - 1 $:
$$ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) $$

Bước 2: Thay các phân tích vào biểu thức $ A $:

$$ A = \frac{x(x - 1)(x + 1)}{x^2 + 1} \left( \frac{1}{(x - 1)^2} + \frac{1}{-(x - 1)(x + 1)} \right) - \frac{x^2 + x + 1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} $$

Bước 3: Rút gọn biểu thức trong ngoặc:

$$ \frac{1}{(x - 1)^2} + \frac{1}{-(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{(x - 1)^2} - \frac{1}{(x - 1)(x + 1)} $$

Tìm mẫu chung:
$$ \frac{(x + 1) - (x - 1)}{(x - 1)^2(x + 1)} = \frac{x + 1 - x + 1}{(x - 1)^2(x + 1)} = \frac{2}{(x - 1)^2(x + 1)} $$

Bước 4: Thay lại vào biểu thức $ A $:

$$ A = \frac{x(x - 1)(x + 1)}{x^2 + 1} \cdot \frac{2}{(x - 1)^2(x + 1)} - \frac{x^2 + x + 1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} $$

Bước 5: Rút gọn biểu thức:

$$ A = \frac{x \cdot 2}{(x^2 + 1)(x - 1)} - \frac{1}{x - 1} $$

$$ A = \frac{2x}{(x^2 + 1)(x - 1)} - \frac{1}{x - 1} $$

$$ A = \frac{2x - (x^2 + 1)}{(x^2 + 1)(x - 1)} $$

$$ A = \frac{2x - x^2 - 1}{(x^2 + 1)(x - 1)} $$

$$ A = \frac{-x^2 + 2x - 1}{(x^2 + 1)(x - 1)} $$

$$ A = \frac{-(x^2 - 2x + 1)}{(x^2 + 1)(x - 1)} $$

$$ A = \frac{-(x - 1)^2}{(x^2 + 1)(x - 1)} $$

$$ A = \frac{-(x - 1)}{x^2 + 1} $$

$$ A = \frac{1 - x}{x^2 + 1} $$

Vậy biểu thức rút gọn của $ A $ là:
$$ A = \frac{1 - x}{x^2 + 1} $$

Câu 2.
Ta có:
$$ B = \frac{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}{(a^2+2025)(b^2+2025)(c^2+2025)} $$

Nhận thấy rằng:
$$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$
$$ (b+c)^2 = b^2 + 2bc + c^2 $$
$$ (c+a)^2 = c^2 + 2ca + a^2 $$

Do đó:
$$ (a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 = (a^2 + 2ab + b^2)(b^2 + 2bc + c^2)(c^2 + 2ca + a^2) $$

Mặt khác, ta biết rằng:
$$ ab + bc + ca = 2025 $$

Do đó:
$$ a^2 + 2025 = a^2 + ab + bc + ca = a(a + b) + c(a + b) = (a + c)(a + b) $$
$$ b^2 + 2025 = b^2 + ab + bc + ca = b(b + c) + a(b + c) = (b + a)(b + c) $$
$$ c^2 + 2025 = c^2 + ab + bc + ca = c(c + a) + b(c + a) = (c + b)(c + a) $$

Thay vào biểu thức ban đầu, ta có:
$$ B = \frac{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}{(a + c)(a + b)(b + a)(b + c)(c + b)(c + a)} $$

Rút gọn phân số:
$$ B = \frac{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}{(a + b)(b + c)(c + a)(a + b)(b + c)(c + a)} = \frac{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}{[(a+b)(b+c)(c+a)]^2} = 1 $$

Vậy giá trị của biểu thức $ B $ là:
$$ B = 1 $$

Câu 3.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- Ta có phân thức $\frac{x+1}{x-2}$ và $\frac{x-2}{x-4}$. Để các phân thức này có nghĩa, ta cần:
$$ x \neq 2 \quad \text{và} \quad x \neq 4 $$

Bước 2: Đặt biến phụ
- Gọi $t = \frac{x+1}{x-2}$ và $u = \frac{x-2}{x-4}$

Bước 3: Biến đổi phương trình
- Phương trình ban đầu là:
$$ t^2 + u - 12u^2 = 0 $$
- Ta nhận thấy rằng $u = \frac{x-2}{x-4} = \frac{1}{\frac{x-4}{x-2}} = \frac{1}{\frac{x-4}{x-2}} = \frac{1}{\frac{x-4}{x-2}} = \frac{1}{\frac{x-4}{x-2}} = \frac{1}{\frac{x-4}{x-2}}$
- Do đó, ta có thể viết lại phương trình dưới dạng:
$$ t^2 + \frac{1}{u} - 12u^2 = 0 $$

Bước 4: Nhân cả hai vế với $u^2$ để loại bỏ mẫu số
$$ t^2u^2 + u - 12u^3 = 0 $$

Bước 5: Thay $t = \frac{x+1}{x-2}$ và $u = \frac{x-2}{x-4}$ vào phương trình
$$ \left( \frac{x+1}{x-2} \right)^2 \left( \frac{x-2}{x-4} \right)^2 + \frac{x-2}{x-4} - 12 \left( \frac{x-2}{x-4} \right)^3 = 0 $$

Bước 6: Giải phương trình
- Ta nhận thấy rằng phương trình này khá phức tạp để giải trực tiếp. Do đó, ta sẽ thử các giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện xác định để tìm nghiệm.

Bước 7: Kiểm tra các giá trị $x$
- Ta thử các giá trị $x$ thỏa mãn điều kiện $x \neq 2$ và $x \neq 4$.

Thử $x = 3$:
$$ t = \frac{3+1}{3-2} = 4 $$
$$ u = \frac{3-2}{3-4} = -1 $$
$$ t^2 + u - 12u^2 = 4^2 + (-1) - 12(-1)^2 = 16 - 1 - 12 = 3 \neq 0 $$

Thử $x = 5$:
$$ t = \frac{5+1}{5-2} = 2 $$
$$ u = \frac{5-2}{5-4} = 3 $$
$$ t^2 + u - 12u^2 = 2^2 + 3 - 12(3)^2 = 4 + 3 - 108 = -101 \neq 0 $$

Do đó, ta thấy rằng phương trình này không có nghiệm đơn giản dễ dàng kiểm tra. Ta cần sử dụng phương pháp khác hoặc kiểm tra lại các bước đã làm.

Kết luận: Phương trình $(\frac{x+1}{x-2})^2 + \frac{x+1}{x-4} - 12(\frac{x-2}{x-4})^2 = 0$ không có nghiệm đơn giản dễ dàng kiểm tra.