Bài 7: Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt DC tại K. Qua B vẽ đường thẳng song song với AD cắt DC tại I. BI cắt AC tại F, AK cắt BD tại E. Chứng minh: (Hình 18)...

Bài 7: Để chứng minh các khẳng định trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. 1. Chứng minh ΔAFB ∽ ΔCFI: - Xét tam giác AFB và CFI: - Ta có góc AFB = góc CFI (hai góc đối đỉnh). - Góc BAF = góc ICF (vì AK // BC nên góc BAK = góc BCA, và góc BAK = góc BAF). - Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có ΔAFB ∽ ΔCFI. 2. Chứng minh AE.KD = AB.EK: - Xét tam giác AED và BEK: - Ta có góc AED = góc BEK (hai góc đối đỉnh). - Góc EAD = góc EBK (vì AK // BC nên góc DAK = góc DBK, và góc DAK = góc EAD). - Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có ΔAED ∽ ΔBEK. - Từ đó, ta có tỉ lệ cạnh: $\frac{AE}{EK} = \frac{AD}{BK}$. - Vì AK // BC nên tam giác ADK và BKD đồng dạng, do đó $\frac{AD}{BK} = \frac{KD}{EK}$. - Kết hợp lại, ta có $\frac{AE}{EK} = \frac{KD}{EK}$, suy ra AE.KD = AB.EK. 3. Chứng minh AB^2 = CD.EF: - Xét tam giác AEB và CDF: - Ta có góc AEB = góc CDF (hai góc đối đỉnh). - Góc EAB = góc FCD (vì AK // BC nên góc DAK = góc DBK, và góc DAK = góc EAB). - Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có ΔAEB ∽ ΔCDF. - Từ đó, ta có tỉ lệ cạnh: $\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{CF}$. - Vì EF là đường cao chung của tam giác AEB và CDF, ta có $\frac{AB}{CD} = \frac{EF}{EF}$. - Kết hợp lại, ta có $\frac{AB}{CD} = \frac{EF}{EF}$, suy ra AB^2 = CD.EF. Vậy ta đã chứng minh được các khẳng định trên.