ghcdfhibyxtfvuvu

Câu 16. a) Ta viết lại phương trình mặt cầu (S) dưới dạng $(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=9$. Vậy mặt cầu (S) có tâm $I(1,-2,3)$. b) Bán kính của mặt cầu (S) là $R = 3$. c) Khoảng cách từ tâm $I(1,-2,3)$ của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) được tính bằng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: \[ d = \frac{|2(1) - 3(-2) + 6(3) - 12|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{|2 + 6 + 18 - 12|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{14}{7} = 2 \] d) Để tìm chu vi của đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S), ta cần biết bán kính của đường tròn này. Bán kính của đường tròn giao tuyến được tính bằng công thức: \[ r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} \] Chu vi của đường tròn là: \[ C = 2\pi r = 2\pi \sqrt{5} \] Đáp số: a) Tâm của mặt cầu (S) là $I(1,-2,3)$. b) Bán kính của mặt cầu (S) là $R = 3$. c) Khoảng cách từ tâm của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) là 2. d) Chu vi của đường tròn giao tuyến là $2\pi \sqrt{5}$. Câu 17. a) Ta có $A B=A C=3$ nên $\triangle A B C$ là tam giác đều cạnh 3. Diện tích tam giác $A B C$ là: \[ S_{\triangle A B C}=\frac{3 \times 3 \sqrt{3}}{4}=\frac{9 \sqrt{3}}{4} \] Diện tích tam giác $B C C^{\prime} B^{\prime}$ là: \[ S_{\triangle B C C^{\prime} B^{\prime}}=\frac{1}{2} \times 3 \times 6=9 \] Gọi khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(B C C^{\prime} B^{\prime})$ là $d$. Thể tích khối chóp $A . B C C^{\prime} B^{\prime}$ là: \[ V_{A . B C C^{\prime} B^{\prime}}=\frac{1}{3} \times S_{\triangle B C C^{\prime} B^{\prime}} \times d=\frac{1}{3} \times 9 \times d=3 d \] Thể tích khối chóp $A . B C C^{\prime} B^{\prime}$ cũng bằng: \[ V_{A . B C C^{\prime} B^{\prime}}=V_{A . B C C^{\prime}}+V_{A . B C B^{\prime}}=\frac{1}{3} \times S_{\triangle B C C^{\prime}} \times A A^{\prime}+\frac{1}{3} \times S_{\triangle B C B^{\prime}} \times A A^{\prime}=\frac{1}{3} \times \frac{9 \sqrt{3}}{4} \times 6+\frac{1}{3} \times \frac{9 \sqrt{3}}{4} \times 6=\frac{9 \sqrt{3}}{2} \] Ta có: \[ 3 d=\frac{9 \sqrt{3}}{2} \Rightarrow d=\frac{3 \sqrt{3}}{2} \] Vậy khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(B C C^{\prime} B^{\prime})$ là $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$. b) Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$. Ta có $A C \perp B D$, $A C \perp A^{\prime} A$ nên $A C \perp (A^{\prime} A B)$. Mà $A^{\prime} B \subset (A^{\prime} A B)$ nên $A C \perp A^{\prime} B$. Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng $B D$ và $A^{\prime} C$ bằng khoảng cách từ điểm $C$ đến đường thẳng $A^{\prime} B$. Ta có diện tích tam giác $A^{\prime} A B$ là: \[ S_{\triangle A^{\prime} A B}=\frac{1}{2} \times 6 \times 3=9 \] Diện tích tam giác $A^{\prime} B C$ là: \[ S_{\triangle A^{\prime} B C}=\frac{1}{2} \times 3 \times 3 \sqrt{3}=\frac{9 \sqrt{3}}{2} \] Gọi khoảng cách từ điểm $C$ đến đường thẳng $A^{\prime} B$ là $h$. Thể tích khối chóp $C . A^{\prime} A B$ là: \[ V_{C . A^{\prime} A B}=\frac{1}{3} \times S_{\triangle A^{\prime} A B} \times h=\frac{1}{3} \times 9 \times h=3 h \] Thể tích khối chóp $C . A^{\prime} A B$ cũng bằng: \[ V_{C . A^{\prime} A B}=V_{A . A^{\prime} B C}=\frac{1}{3} \times S_{\triangle A^{\prime} B C} \times A A^{\prime}=\frac{1}{3} \times \frac{9 \sqrt{3}}{2} \times 6=9 \sqrt{3} \] Ta có: \[ 3 h=9 \sqrt{3} \Rightarrow h=3 \sqrt{3} \] Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $B D$ và $A^{\prime} C$ là $3 \sqrt{3}$. Câu 18. a) Doanh thu khi sản xuất 50 đôi giày mỗi ngày là: \[ R(50) = h(50) \times 50 = (600 - 50) \times 50 = 550 \times 50 = 27500 \text{ (nghìn đồng)} \] Tổng chi phí khi sản xuất 50 đôi giày mỗi ngày là: \[ C(50) = 0,01 \times 50^3 - 0,6 \times 50^2 + 50 \times 50 + 2000 = 0,01 \times 125000 - 0,6 \times 2500 + 2500 + 2000 = 1250 - 1500 + 2500 + 2000 = 4250 \text{ (nghìn đồng)} \] Lợi nhuận khi sản xuất 50 đôi giày mỗi ngày là: \[ L(50) = R(50) - C(50) = 27500 - 4250 = 23250 \text{ (nghìn đồng)} \] b) Lợi nhuận khi sản xuất q đôi giày mỗi ngày là: \[ L(q) = R(q) - C(q) = q \times h(q) - C(q) = q \times (600 - q) - (0,01q^3 - 0,6q^2 + 50q + 2000) \] \[ L(q) = 600q - q^2 - 0,01q^3 + 0,6q^2 - 50q - 2000 \] \[ L(q) = -0,01q^3 + 0,6q^2 + 550q - 2000 \] Để tìm giá trị của q sao cho lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất, ta tính đạo hàm của L(q): \[ L'(q) = -0,03q^2 + 1,2q + 550 \] Đặt L'(q) = 0 để tìm điểm cực trị: \[ -0,03q^2 + 1,2q + 550 = 0 \] Chia cả hai vế cho -0,03: \[ q^2 - 40q - 18333,33 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ q = \frac{-(-40) \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \times 1 \times (-18333,33)}}{2 \times 1} \] \[ q = \frac{40 \pm \sqrt{1600 + 73333,32}}{2} \] \[ q = \frac{40 \pm \sqrt{74933,32}}{2} \] \[ q = \frac{40 \pm 273,74}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ q_1 = \frac{40 + 273,74}{2} = 156,87 \] \[ q_2 = \frac{40 - 273,74}{2} = -116,87 \] (loại vì số lượng sản phẩm không thể âm) Do đó, công ty nên sản xuất khoảng 157 đôi giày mỗi ngày để đạt lợi nhuận tối đa. Câu 19. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đại lượng và điều kiện: - Gọi khoảng cách từ điểm T đến nhà máy nước là \( x \) (km). - Chi phí đặt mỗi ki-lô-mét ống nước trên đất liền là 30 triệu đồng. - Chi phí đặt mỗi ki-lô-mét ống nước dưới nước là 50 triệu đồng. - Khoảng cách từ nhà máy nước đến bến tàu là 4 km. - Khoảng cách từ bến tàu đến đảo là 1 km. 2. Tính khoảng cách từ điểm T đến bến tàu: - Khoảng cách từ điểm T đến bến tàu là \( 4 - x \) (km). 3. Tính khoảng cách từ điểm T đến đảo: - Khoảng cách từ điểm T đến đảo là \( \sqrt{(4 - x)^2 + 1^2} = \sqrt{(4 - x)^2 + 1} \) (km). 4. Lập phương trình chi phí tổng cộng: - Chi phí đặt ống nước trên đất liền từ nhà máy nước đến điểm T là \( 30x \) (triệu đồng). - Chi phí đặt ống nước dưới nước từ điểm T đến đảo là \( 50 \times \sqrt{(4 - x)^2 + 1} \) (triệu đồng). - Tổng chi phí là: \[ C(x) = 30x + 50 \sqrt{(4 - x)^2 + 1} \] 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng chi phí: - Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( C(x) \), chúng ta sẽ tính đạo hàm của \( C(x) \) và tìm điểm cực tiểu. - Đạo hàm của \( C(x) \): \[ C'(x) = 30 + 50 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{-2(4 - x)}{\sqrt{(4 - x)^2 + 1}} = 30 - \frac{50(4 - x)}{\sqrt{(4 - x)^2 + 1}} \] - Đặt \( C'(x) = 0 \): \[ 30 = \frac{50(4 - x)}{\sqrt{(4 - x)^2 + 1}} \] \[ 30 \sqrt{(4 - x)^2 + 1} = 50(4 - x) \] \[ 900((4 - x)^2 + 1) = 2500(4 - x)^2 \] \[ 900(16 - 8x + x^2 + 1) = 2500(16 - 8x + x^2) \] \[ 900(17 - 8x + x^2) = 2500(16 - 8x + x^2) \] \[ 15300 - 7200x + 900x^2 = 40000 - 20000x + 2500x^2 \] \[ 1600x^2 - 12800x + 24700 = 0 \] \[ 8x^2 - 64x + 123.5 = 0 \] \[ x = \frac{64 \pm \sqrt{64^2 - 4 \cdot 8 \cdot 123.5}}{2 \cdot 8} = \frac{64 \pm \sqrt{4096 - 3952}}{16} = \frac{64 \pm \sqrt{144}}{16} = \frac{64 \pm 12}{16} \] \[ x = \frac{76}{16} = 4.75 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{52}{16} = 3.25 \] - Kiểm tra điều kiện \( 0 \leq x \leq 4 \), ta có \( x = 3.25 \). 6. Tính tổng chi phí khi \( x = 3.25 \): - Khoảng cách từ điểm T đến bến tàu là \( 4 - 3.25 = 0.75 \) (km). - Khoảng cách từ điểm T đến đảo là \( \sqrt{(0.75)^2 + 1} = \sqrt{0.5625 + 1} = \sqrt{1.5625} = 1.25 \) (km). - Tổng chi phí là: \[ C(3.25) = 30 \times 3.25 + 50 \times 1.25 = 97.5 + 62.5 = 160 \text{ (triệu đồng)} \] Đáp số: - Khoảng cách từ điểm T đến nhà máy nước là 3.25 km. - Tổng chi phí lắp đặt ít nhất là 160 triệu đồng.