Giúp mình vs PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không,lưu sân bay ở vị trí $O(0;0;0)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 500 km . Một máy,bay đang ở vị trí $A(-1000;-185;30)$ và chuyển động với vận tốc không đổi theo quỹ đạo là đường thẳng,d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u=(100;80;0).$ Tính khoảng cách từ vị trí A đến khi đài kiếm soát không lưu phá,hiện được máy bay (đơn vị km, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).,Mã đề 0201 Tran

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 1.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm phương trình đường thẳng $d$:
   - Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(-1000; -185; 30)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (100; 80; 0)$.
   - Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là:
     $$
     \begin{cases}
     x = -1000 + 100t \
     y = -185 + 80t \
     z = 30
     \end{cases}
     $$
     trong đó $t$ là tham số.

2. Tìm tọa độ điểm $M$ trên đường thẳng $d$ sao cho khoảng cách từ $O$ đến $M$ là 500 km:
   - Gọi $M(x, y, z)$ là điểm trên đường thẳng $d$.
   - Ta có:
     $$
     OM = 500 \implies \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 500
     $$
   - Thay $x$, $y$, $z$ từ phương trình tham số vào:
     $$
     \sqrt{(-1000 + 100t)^2 + (-185 + 80t)^2 + 30^2} = 500
     $$
   - Bình phương cả hai vế:
     $$
     (-1000 + 100t)^2 + (-185 + 80t)^2 + 900 = 250000
     $$
   - Mở rộng và thu gọn:
     $$
     1000000 - 200000t + 10000t^2 + 34225 - 29600t + 6400t^2 + 900 = 250000
     $$
     $$
     16400t^2 - 229600t + 1035125 = 250000
     $$
     $$
     16400t^2 - 229600t + 785125 = 0
     $$

3. Giải phương trình bậc hai:
   - Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
     $$
     t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
     $$
     với $a = 16400$, $b = -229600$, $c = 785125$:
     $$
     t = \frac{229600 \pm \sqrt{229600^2 - 4 \cdot 16400 \cdot 785125}}{2 \cdot 16400}
     $$
     $$
     t = \frac{229600 \pm \sqrt{52716160000 - 51200000000}}{32800}
     $$
     $$
     t = \frac{229600 \pm \sqrt{1516160000}}{32800}
     $$
     $$
     t = \frac{229600 \pm 38936}{32800}
     $$
     $$
     t_1 = \frac{229600 + 38936}{32800} = \frac{268536}{32800} \approx 8.18
     $$
     $$
     t_2 = \frac{229600 - 38936}{32800} = \frac{190664}{32800} \approx 5.81
     $$

4. Tìm khoảng cách từ $A$ đến $M$:
   - Chọn $t = 5.81$ (vì $t = 8.18$ sẽ đưa máy bay ra xa hơn):
     $$
     x = -1000 + 100 \cdot 5.81 = -419
     $$
     $$
     y = -185 + 80 \cdot 5.81 = 290.8
     $$
     $$
     z = 30
     $$
   - Tọa độ điểm $M$ là $(-419; 290.8; 30)$.

5. Tính khoảng cách từ $A$ đến $M$:
   - Khoảng cách $AM$ là:
     $$
     AM = \sqrt{(-419 + 1000)^2 + (290.8 + 185)^2 + (30 - 30)^2}
     $$
     $$
     AM = \sqrt{581^2 + 475.8^2}
     $$
     $$
     AM = \sqrt{337561 + 226385.64}
     $$
     $$
     AM = \sqrt{563946.64} \approx 751
     $$

Vậy khoảng cách từ vị trí $A$ đến khi đài kiểm soát không lưu phát hiện được máy bay là 751 km.