Bài 11: Cho hình thang ABCD có AB∥CD có (A ) ̂=(D ) ̂=90^0, AB=4 cm,CD= 9 cm,BC=13 cm. M là trung điểm của AD.
Chứng minh ΔABM∽ΔDMC (Hình 22)
Tính (BMC) ̂

Question

Bài 11: Cho hình thang ABCD có AB∥CD có (A ) ̂=(D ) ̂=90^0, AB=4 cm,CD= 9 cm,BC=13 cm. M là trung điểm của AD.
	Chứng minh ΔABM∽ΔDMC (Hình 22)
Tính (BMC) ̂

Accepted Answer

Bài 11:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chứng minh ΔABM ∽ ΔDMC

1. Xác định các góc và cạnh:
   - Trong hình thang ABCD, ta có AB ∥ CD và (A) ̂ = (D) ̂ = 90°.
   - M là trung điểm của AD, do đó AM = MD.

2. Chứng minh các góc:
   - Vì (A) ̂ = 90° và (D) ̂ = 90°, nên góc BAM và góc DMC đều là góc vuông.
   - Góc AMB và góc CMD là các góc kề bù với góc BAM và DMC, do đó góc AMB = góc CMD.

3. Chứng minh tỉ lệ cạnh:
   - Vì M là trung điểm của AD, nên AM = MD.
   - Do đó, tỉ lệ cạnh AM/MD = 1.

4. Áp dụng tiêu chí đồng dạng góc-góc:
   - Ta đã chứng minh được góc BAM = góc DMC và góc AMB = góc CMD.
   - Theo tiêu chí đồng dạng góc-góc, ta có ΔABM ∽ ΔDMC.

Bước 2: Tính góc BMC

1. Xác định các đoạn thẳng:
   - Ta biết AB = 4 cm, CD = 9 cm, BC = 13 cm.
   - Vì M là trung điểm của AD, nên AM = MD = (AD)/2.

2. Tính độ dài AD:
   - Trong tam giác vuông ABD, ta có:
     $$
     AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{4^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}
     $$
   - Do đó, AM = MD = 2√10.

3. Xác định các đoạn thẳng BM và CM:
   - Trong tam giác vuông ABM, ta có:
     $$
     BM = \sqrt{AB^2 + AM^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{10})^2} = \sqrt{16 + 40} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}
     $$
   - Trong tam giác vuông DMC, ta có:
     $$
     CM = \sqrt{CD^2 + MD^2} = \sqrt{9^2 + (2\sqrt{10})^2} = \sqrt{81 + 40} = \sqrt{121} = 11
     $$

4. Tính góc BMC:
   - Ta sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng để tính góc BMC.
   - Vì ΔABM ∽ ΔDMC, nên góc BMC = góc BMD.

5. Áp dụng tính chất tam giác vuông:
   - Trong tam giác vuông BMD, ta có:
     $$
     \tan(BMD) = \frac{BM}{MD} = \frac{2\sqrt{14}}{2\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{14}{10}} = \sqrt{1.4}
     $$
   - Do đó, góc BMC = 45°.

Kết luận:
- Ta đã chứng minh được ΔABM ∽ ΔDMC.
- Góc BMC = 45°.

Đáp số: Góc BMC = 45°.

Bài 11: Cho hình thang ABCD có AB∥CD có (A ) ̂=(D ) ̂=90^0, AB=4 cm,CD= 9 cm,BC=13 cm. M là trung điểm của AD. Chứng minh ΔABM∽ΔDMC (Hình 22) Tính (BMC) ̂