Bài 16: Cho ΔABC vuông tại A có AB<AC, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy D sao cho HD=HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh ΔDEC∽ΔABC (Hình 27) Chứng minh...

Bài 16: Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán này một cách chi tiết và cẩn thận. Phần a: Chứng minh ΔDEC ∽ ΔABC 1. Xác định các góc: - Trong tam giác ABC, góc A là góc vuông, tức là \(\angle BAC = 90^\circ\). - Vì DE vuông góc với BC tại D, nên \(\angle DEC = 90^\circ\). 2. So sánh các góc: - \(\angle DEC = 90^\circ\) và \(\angle BAC = 90^\circ\). - \(\angle ECD = \angle ACB\) (góc chung). 3. Áp dụng tiêu chí đồng dạng góc-góc: - Do \(\angle DEC = \angle BAC\) và \(\angle ECD = \angle ACB\), theo tiêu chí đồng dạng góc-góc, ta có: \[ \Delta DEC \sim \Delta ABC \] Phần b: Chứng minh ΔADC ∽ ΔBEC 1. Xác định các góc: - Trong tam giác ADC, \(\angle AHD = 90^\circ\) (vì AH là đường cao). - Trong tam giác BEC, \(\angle BED = 90^\circ\) (vì DE vuông góc với BC). 2. So sánh các góc: - \(\angle AHD = 90^\circ\) và \(\angle BED = 90^\circ\). - \(\angle HAD = \angle CBE\) (góc chung). 3. Áp dụng tiêu chí đồng dạng góc-góc: - Do \(\angle AHD = \angle BED\) và \(\angle HAD = \angle CBE\), theo tiêu chí đồng dạng góc-góc, ta có: \[ \Delta ADC \sim \Delta BEC \] Phần c: Chứng minh AB.AC = BC.AH 1. Áp dụng tính chất đường cao trong tam giác vuông: - Trong tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH tạo ra các tam giác đồng dạng: \[ \Delta AHB \sim \Delta CHA \quad \text{và} \quad \Delta AHC \sim \Delta BHA \] - Từ đây, ta có các tỉ lệ: \[ \frac{AB}{AH} = \frac{BC}{AC} \quad \text{và} \quad \frac{AH}{AC} = \frac{AB}{BC} \] 2. Nhân hai tỉ lệ trên: - Nhân hai tỉ lệ trên ta được: \[ \left( \frac{AB}{AH} \right) \times \left( \frac{AH}{AC} \right) = \left( \frac{BC}{AC} \right) \times \left( \frac{AB}{BC} \right) \] - Điều này dẫn đến: \[ \frac{AB}{AC} = \frac{AB}{AC} \] - Từ đây, ta rút ra: \[ AB \cdot AC = BC \cdot AH \] Phần d: Chứng minh \((AHM)^\wedge = 45^\circ\) 1. Xác định các góc: - Trong tam giác AHD, \(\angle AHD = 90^\circ\). - Trong tam giác BEC, \(\angle BED = 90^\circ\). 2. Xác định các góc liên quan: - Vì M là trung điểm của BE, ta có \(\angle AMH = \angle BMH\). - Trong tam giác AHD, \(\angle HAD = \angle HBD\) (góc chung). 3. Áp dụng tính chất tam giác vuông: - Trong tam giác vuông AHD, \(\angle HAD = 45^\circ\) (vì HD = HA). - Do đó, \(\angle AMH = 45^\circ\). Từ các lập luận trên, ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.