Giải hết giùm với ạ

Câu 1: a) Ta có: $f(\frac{\pi}{2}) = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) + 2 \cdot \frac{\pi}{2} + 1$ $= \cos(\pi) + \pi + 1$ $= -1 + \pi + 1$ $= \pi$ b) Ta tính đạo hàm của hàm số $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(\cos(2x) + 2x + 1)$ $= \frac{d}{dx}(\cos(2x)) + \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(1)$ $= -2\sin(2x) + 2 + 0$ $= -2\sin(2x) + 2$ c) Ta giải phương trình $f'(x) = 0$: $-2\sin(2x) + 2 = 0$ $\Rightarrow -2\sin(2x) = -2$ $\Rightarrow \sin(2x) = 1$ $\Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$ Trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$, ta có các giá trị của $k$ thỏa mãn: $k = 0$: $x = \frac{\pi}{4}$ $k = 1$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$ Do đó, nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$ là $x = \frac{\pi}{4}$ và $x = \frac{3\pi}{4}$. d) Ta xét giá trị của hàm số $f(x)$ tại các điểm biên và các điểm cực trị: $f(-\frac{\pi}{2}) = \cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{2})) + 2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) + 1$ $= \cos(-\pi) - \pi + 1$ $= -1 - \pi + 1$ $= -\pi$ $f(\frac{\pi}{4}) = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) + 2 \cdot \frac{\pi}{4} + 1$ $= \cos(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{2} + 1$ $= 0 + \frac{\pi}{2} + 1$ $= \frac{\pi}{2} + 1$ $f(\frac{3\pi}{4}) = \cos(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) + 2 \cdot \frac{3\pi}{4} + 1$ $= \cos(\frac{3\pi}{2}) + \frac{3\pi}{2} + 1$ $= 0 + \frac{3\pi}{2} + 1$ $= \frac{3\pi}{2} + 1$ $f(\pi) = \cos(2 \cdot \pi) + 2 \cdot \pi + 1$ $= \cos(2\pi) + 2\pi + 1$ $= 1 + 2\pi + 1$ $= 2\pi + 2$ Từ đó, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$ là $2\pi + 2$ và giá trị nhỏ nhất là $-\pi$. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là: $(2\pi + 2) + (-\pi) = \pi + 2$ Đáp án đúng là: $\pi + 2$ Câu 2: a) Ta có: $f(60)=(0,00061\times 60^2+0,0218\times 60+1,723)^2=0,299< 0,3$ Vậy tổng thu nhập thực tế của 60% các gia đình đầu tiên chiếm chưa đến 30% so với tổng thu nhập của toàn bộ các gia đình. b) Ta có: $f(30)-f(20)=(0,00061\times 30^2+0,0218\times 30+1,723)^2-(0,00061\times 20^2+0,0218\times 20+1,723)^2=0,0856$ Vậy tổng thu nhập của các gia đình trong nhóm 3 chiếm khoảng 8,56% tổng thu nhập của toàn bộ các gia đình. c) Ta có: $\int^{100}_0[x-(0,00061x^2+0,0218x+1,723)^2]dx=\int^{100}_0xdx-\int^{100}_0(0,00061x^2+0,0218x+1,723)^2dx$ $=[\frac{x^2}{2}]^{100}_0-[\frac{(0,00061x^2+0,0218x+1,723)^3}{3\times 0,00183}]^{100}_0$ $=5000-\frac{(61+21,8+1,723)^3}{3\times 0,00183}+\frac{1,723^3}{3\times 0,00183}$ $=5000-\frac{84,523^3}{3\times 0,00183}+\frac{1,723^3}{3\times 0,00183}\approx 2070,1$ d) Ta có: $2070,1>2000$ Vậy sự bất bình đẳng về thu nhập của Hoa Kỳ năm 2005 đã vượt quá 2000. Câu 3: a) Ta có \( P(A) = 0,6 \), \( P(B) = 0,5 \) và \( P(A \cap B) = 0,4 \). Ta kiểm tra xem \( A \) và \( B \) có phải là hai biến cố độc lập hay không bằng cách so sánh \( P(A \cap B) \) với \( P(A) \times P(B) \): \[ P(A) \times P(B) = 0,6 \times 0,5 = 0,3 \] Vì \( P(A \cap B) = 0,4 \neq 0,3 \), nên \( A \) và \( B \) không phải là hai biến cố độc lập. b) Khả năng công ty thắng thầu đúng 1 dự án là: \[ P((A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)) = P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) \] \[ P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0,6 - 0,4 = 0,2 \] \[ P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0,5 - 0,4 = 0,1 \] \[ P((A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)) = 0,2 + 0,1 = 0,3 \] Vậy khả năng công ty thắng thầu đúng 1 dự án là 30%. c) Xác suất công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty đã thắng thầu dự án 1 là: \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0,4}{0,6} = \frac{2}{3} \] d) Xác suất công ty không thắng thầu dự án 2, biết công ty đã không thắng thầu dự án 1 là: \[ P(\overline{B}|\overline{A}) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{A})} \] \[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,6 = 0,4 \] \[ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - P(A \cup B) \] \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,6 + 0,5 - 0,4 = 0,7 \] \[ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - 0,7 = 0,3 \] \[ P(\overline{B}|\overline{A}) = \frac{0,3}{0,4} = \frac{3}{4} \] Đáp số: a) \( A \) và \( B \) không phải là hai biến cố độc lập. b) 30% c) \( \frac{2}{3} \) d) \( \frac{3}{4} \) Câu 4: Để xác định các điểm trong không gian Oxyz mà trạm thu phát sóng có thể phủ sóng, ta cần tìm các điểm $(x, y, z)$ sao cho khoảng cách từ điểm đó đến trạm thu phát sóng $I(1, 3, 7)$ không vượt quá bán kính phủ sóng là 3 km. Bước 1: Xác định điều kiện khoảng cách giữa hai điểm. Khoảng cách giữa hai điểm $(x_1, y_1, z_1)$ và $(x_2, y_2, z_2)$ trong không gian Oxyz được tính bằng công thức: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng vào bài toán, khoảng cách từ điểm $(x, y, z)$ đến điểm $I(1, 3, 7)$ là: \[ d = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 7)^2} \] Bước 2: Xác định điều kiện phủ sóng. Để trạm thu phát sóng có thể phủ sóng đến điểm $(x, y, z)$, khoảng cách này phải nhỏ hơn hoặc bằng 3 km: \[ \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 7)^2} \leq 3 \] Bước 3: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai. \[ (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 7)^2 \leq 9 \] Bước 4: Kết luận. Các điểm $(x, y, z)$ nằm trong không gian Oxyz mà thỏa mãn điều kiện: \[ (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 7)^2 \leq 9 \] là các điểm mà trạm thu phát sóng có thể phủ sóng. Đáp số: Các điểm $(x, y, z)$ thỏa mãn $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 7)^2 \leq 9$.