Câu 5:
Phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian có dạng:
trong đó là tọa độ một điểm trên đường thẳng và là các số thực khác 0 đại diện cho các thành phần của vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Ta sẽ kiểm tra từng phương án để xác định phương trình nào đúng theo dạng này:
A.
- Phương trình này không đúng vì nó không có dạng .
B.
- Phương trình này cũng không đúng vì nó không có dạng .
C.
- Phương trình này đúng vì nó có dạng với và .
D.
- Phương trình này không đúng vì nó không có dạng .
Do đó, phương trình chính tắc của đường thẳng là:
Đáp án: C.
Câu 6:
Phương trình mặt cầu có dạng , trong đó là tọa độ tâm mặt cầu và là bán kính.
Ta sẽ kiểm tra từng phương án để xác định phương trình đúng:
A.
- Ta thấy rằng không có dạng . Do đó, phương án này không phải là phương trình mặt cầu.
B.
- Ta thấy rằng không có dạng . Do đó, phương án này không phải là phương trình mặt cầu.
C.
- Ta thấy rằng không có dạng . Do đó, phương án này không phải là phương trình mặt cầu.
D.
- Phương trình này có dạng , với và . Do đó, phương án này là phương trình mặt cầu.
Vậy phương trình mặt cầu là:
Câu 7:
Câu hỏi yêu cầu chúng ta xác định phát biểu đúng về xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra, ký hiệu là .
Theo định nghĩa xác suất điều kiện, nếu , thì xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính bằng công thức:
Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu:
A. Nếu thì .
- Phát biểu này sai vì nó không đúng theo định nghĩa xác suất điều kiện. Xác suất điều kiện phụ thuộc vào , không chỉ đơn thuần là .
B. Nếu thì .
- Phát biểu này đúng. Theo công thức nhân xác suất, . Do đó, .
C. Nếu thì .
- Phát biểu này sai vì nó không đúng theo định nghĩa xác suất điều kiện. Xác suất điều kiện không được tính bằng cách chia cho .
D. Nếu thì .
- Phát biểu này sai vì nó không đúng theo định nghĩa xác suất điều kiện. Xác suất điều kiện không được tính bằng cách chia cho .
Vậy phát biểu đúng là:
B. Nếu thì .
Đáp án: B.
Câu 8:
Để tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dải dữ liệu đã cho.
Dải dữ liệu thời gian tập thể dục của học sinh khối 11 được chia thành các nhóm:
- [0; 20)
- [20; 40)
- [40; 60)
- [60; 80)
- [80; 100)
Giá trị nhỏ nhất trong dải dữ liệu này là 0 (giá trị dưới cùng của nhóm đầu tiên).
Giá trị lớn nhất trong dải dữ liệu này là 100 (giá trị trên cùng của nhóm cuối cùng).
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng cách lấy giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất:
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 100.
Đáp án đúng là: C. 100.
Câu 9:
Để tìm khoảng tứ phân vị của bảng số liệu ghép nhóm, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
1. Tính tổng số học sinh:
Tổng số học sinh = 2 + 10 + 16 + 8 + 2 + 2 = 40 học sinh.
2. Xác định vị trí của Q1 và Q3:
- Vị trí của Q1 = (vị trí thứ 10 trong dãy sắp xếp).
- Vị trí của Q3 = (vị trí thứ 30 trong dãy sắp xếp).
3. Xác định nhóm chứa Q1 và Q3:
- Nhóm chứa Q1: Từ 1 đến 10 học sinh nằm trong nhóm [40; 50).
- Nhóm chứa Q3: Từ 22 đến 30 học sinh nằm trong nhóm [60; 70).
4. Tính giá trị của Q1 và Q3:
- Q1 nằm trong nhóm [40; 50).
- Giới hạn dưới của nhóm này là 40.
- Số học sinh trong nhóm trước đó là 2.
- Số học sinh trong nhóm này là 10.
- Vị trí của Q1 trong nhóm này là 10 - 2 = 8.
- Chiều rộng của nhóm là 50 - 40 = 10.
- Q1 = 40 + .
- Q3 nằm trong nhóm [60; 70).
- Giới hạn dưới của nhóm này là 60.
- Số học sinh trong nhóm trước đó là 2 + 10 + 16 = 28.
- Số học sinh trong nhóm này là 8.
- Vị trí của Q3 trong nhóm này là 30 - 28 = 2.
- Chiều rộng của nhóm là 70 - 60 = 10.
- Q3 = 60 + .
5. Tính khoảng tứ phân vị:
Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 62.5 - 48 = 14.5.
Vậy khoảng tứ phân vị của bảng số liệu ghép nhóm trên là 14.5.
Đáp án đúng là: B. 14,5.
Câu 10:
Để tính diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ, ta cần xác định phương trình của các đường thẳng và đường parabol, sau đó sử dụng tích phân để tính diện tích.
1. Xác định phương trình của các đường thẳng và đường parabol:
- Đường thẳng đi qua điểm và có phương trình:
- Đường parabol đi qua điểm , và có phương trình:
2. Tìm giao điểm của đường thẳng và đường parabol:
- Đặt phương trình của đường thẳng bằng phương trình của đường parabol:
- Rearrange the equation:
- Giải phương trình bậc hai:
- Phương trình này không có nghiệm thực, do đó giao điểm là và .
3. Tính diện tích hình phẳng:
- Diện tích hình phẳng được gạch chéo là diện tích giữa đường thẳng và đường parabol từ đến :
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 11:
Phương sai luôn luôn là số không âm vì nó là trung bình cộng của các bình phương độ lệch từ giá trị trung bình. Do đó, khẳng định A là đúng.
Phương sai là bình phương của độ lệch chuẩn, do đó khẳng định B là đúng.
Phương sai càng lớn thì độ phân tán của các giá trị quanh số trung bình càng lớn, do đó khẳng định C là đúng.
Phương sai luôn luôn lớn hơn hoặc bằng độ lệch chuẩn, nhưng không phải lúc nào cũng lớn hơn. Ví dụ, nếu độ lệch chuẩn là 1, phương sai cũng sẽ là 1. Do đó, khẳng định D là sai.
Vậy khẳng định sai là:
D. Phương sai luôn luôn lớn hơn độ lệch chuẩn.
Câu 12:
Để tính chỉ số pH của loại sữa, ta sử dụng công thức , trong đó là nồng độ ion hydrogen.
Bước 1: Thay giá trị nồng độ ion hydrogen vào công thức:
Bước 2: Áp dụng tính chất của logarit :
Bước 3: Biết rằng , ta có:
Vậy chỉ số pH của loại sữa là 7,8.
Đáp án đúng là: D. 7,8.