giải chi tiết và chính xác

Câu 1. Phương trình $\cos x = -\frac{1}{2}$ có nghiệm là các giá trị của $x$ sao cho $\cos x$ bằng $-\frac{1}{2}$. Ta biết rằng $\cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ và $\cos \left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$. Do tính chất tuần hoàn của hàm cosin, ta có: \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi \] với $k$ là số nguyên. Vậy nghiệm của phương trình là: \[ D.~x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi. \] Đáp án đúng là: D. Câu 2. Để tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của một tam giác trong không gian. Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC, thì tọa độ của G được tính theo công thức: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) \] Trong đó: - \( A(1; 2; -1) \) - \( B(2; -1; 3) \) - \( C(-3; 5; 1) \) Ta lần lượt tính các thành phần tọa độ của G: 1. Tính tọa độ x của G: \[ x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{1 + 2 + (-3)}{3} = \frac{0}{3} = 0 \] 2. Tính tọa độ y của G: \[ y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{2 + (-1) + 5}{3} = \frac{6}{3} = 2 \] 3. Tính tọa độ z của G: \[ z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3} = \frac{-1 + 3 + 1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \] Vậy tọa độ của trọng tâm G là: \[ G(0; 2; 1) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~(0; 2; 1) \] Câu 3. Để tìm giá trị cực đại của hàm số \( y = ax^2 + bx^2 + cx + d \) (như đã cho trong đề bài), ta cần dựa vào đồ thị của hàm số để xác định giá trị cực đại. Trước tiên, ta nhận thấy rằng đồ thị của hàm số là một parabol mở rộng xuống dưới (do hệ số \( a \) của \( x^2 \) là âm). Parabol này có đỉnh ở điểm cực đại. Dựa vào đồ thị, ta thấy đỉnh của parabol nằm tại điểm có tọa độ \( (1, 3) \). Điều này có nghĩa là giá trị cực đại của hàm số là 3, đạt được khi \( x = 1 \). Do đó, giá trị cực đại của hàm số đã cho là 3. Đáp án đúng là: B. 3. Câu 4. Để tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{-x + 1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + 2}{-x + 1} \] 2. Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + 2}{-x + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{-x}{x} + \frac{1}{x}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{-1 + \frac{1}{x}} \] 3. Tính giới hạn của các phân số khi \( x \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{-1 + \frac{1}{x}} = \frac{1 + 0}{-1 + 0} = \frac{1}{-1} = -1 \] Vậy, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{-x + 1}$ là $y = -1$. Đáp án đúng là: $D.~y = -1$. Câu 5. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng cách lấy giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất trong dải dữ liệu. Trong bảng đã cho: - Nhóm đầu tiên là [8,11), có giá trị nhỏ nhất là 8. - Nhóm cuối cùng là [20;23), có giá trị lớn nhất là 23. Do đó, khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[ 23 - 8 = 15 \] Vậy đáp án đúng là: C. 15. Câu 6. Để xác định đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho. Hàm số A: \( y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} \) - Ta thấy rằng khi \( x = 1 \), mẫu số \( x - 1 = 0 \), do đó hàm số này không xác định tại \( x = 1 \). Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số này sẽ có đường thẳng đứng \( x = 1 \) là tiệm cận đứng. Tuy nhiên, từ hình vẽ, ta thấy đồ thị không có đường thẳng đứng nào là tiệm cận đứng, nên hàm số này không đúng. Hàm số B: \( y = \frac{2x - 1}{x - 1} \) - Ta thấy rằng khi \( x = 1 \), mẫu số \( x - 1 = 0 \), do đó hàm số này không xác định tại \( x = 1 \). Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số này sẽ có đường thẳng đứng \( x = 1 \) là tiệm cận đứng. Tuy nhiên, từ hình vẽ, ta thấy đồ thị không có đường thẳng đứng nào là tiệm cận đứng, nên hàm số này không đúng. Hàm số C: \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \) - Ta thấy rằng khi \( x = 1 \), mẫu số \( x - 1 = 0 \), do đó hàm số này không xác định tại \( x = 1 \). Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số này sẽ có đường thẳng đứng \( x = 1 \) là tiệm cận đứng. Tuy nhiên, từ hình vẽ, ta thấy đồ thị không có đường thẳng đứng nào là tiệm cận đứng, nên hàm số này không đúng. Hàm số D: \( y = x^3 - 3x - 1 \) - Hàm số này là một đa thức bậc ba, không có điểm bất kỳ làm cho mẫu số bằng 0, do đó nó xác định trên toàn bộ tập số thực. Đồ thị của hàm số bậc ba thường có dạng uốn lượn và có thể có các điểm cực đại và cực tiểu. Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị có dạng uốn lượn và có các điểm cực đại và cực tiểu, phù hợp với đồ thị của hàm số bậc ba. Do đó, đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số \( y = x^3 - 3x - 1 \). Đáp án đúng là: D. \( y = x^3 - 3x - 1 \)