Giải cho tôi

Câu 1: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. a) Vectơ có tọa độ $(1;2;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P_1)$. - Mặt phẳng $(P_1)$ có phương trình $x + 2y - z - 5 = 0$. - Vectơ pháp tuyến của $(P_1)$ là $\overrightarrow{n_1} = (1, 2, -1)$. - Do đó, vectơ có tọa độ $(1;2;1)$ không phải là vectơ pháp tuyến của $(P_1)$ vì nó không đúng với $\overrightarrow{n_1} = (1, 2, -1)$. b) Vectơ có tọa độ $(-2;1;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P_2)$. - Mặt phẳng $(P_2)$ có phương trình $-2x + y + z - 4 = 0$. - Vectơ pháp tuyến của $(P_2)$ là $\overrightarrow{n_2} = (-2, 1, 1)$. - Do đó, vectơ có tọa độ $(-2;1;1)$ đúng là vectơ pháp tuyến của $(P_2)$. c) Côsin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{n_1} = (1, 2, -1)$ và $\overrightarrow{n_2} = (-2, 1, 1)$ bằng $-\frac{1}{6}$. - Tính tích vô hướng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = -2 + 2 - 1 = -1 \] - Tính độ dài của mỗi vectơ: \[ |\overrightarrow{n_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] - Tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|} = \frac{-1}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-1}{6} \] d) Góc giữa hai mặt phẳng $(P_1)$ và $(P_2)$ bằng $100^\circ$. - Ta đã tính được $\cos(\theta) = -\frac{1}{6}$. - Để tìm góc $\theta$, ta sử dụng công thức: \[ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{6}\right) \] - Kết quả của $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{6}\right)$ không phải là $100^\circ$. Do đó, phần này không đúng. Tóm lại: - Phần a) sai. - Phần b) đúng. - Phần c) đúng. - Phần d) sai. Câu 2: a) Đúng vì trên khoảng $(0;2)$, đồ thị hàm số có phần lõm xuống, tức là đạo hàm $f'(x) < 0$, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này. b) Đúng vì tại điểm $x_0 = 2$, đồ thị hàm số có điểm uốn và giá trị của hàm số giảm trước khi tăng lại, tức là đạo hàm chuyển từ âm sang dương, do đó hàm số đạt cực tiểu tại điểm này. c) Đúng vì trên khoảng $(-1;0)$, đồ thị hàm số có phần lõm lên, tức là đạo hàm $f'(x) > 0$, do đó đạo hàm của hàm số nhận giá trị không âm trên khoảng này. d) Đúng vì trên đoạn $[-1;0]$, giá trị lớn nhất của hàm số là 0, đạt được tại điểm $x = 0$. Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Chuyển đổi vận tốc ban đầu từ km/h sang m/s Vận tốc ban đầu của xe ô tô là 72 km/h. Ta chuyển đổi vận tốc này sang đơn vị m/s: \[ 72 \text{ km/h} = 72 \times \frac{1000}{3600} \text{ m/s} = 20 \text{ m/s} \] Bước 2: Xác định quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian phản ứng Người lái xe phản ứng trong 1 giây trước khi đạp phanh. Trong thời gian này, xe vẫn di chuyển với vận tốc ban đầu: \[ s_{phản ứng} = 20 \text{ m/s} \times 1 \text{ s} = 20 \text{ m} \] Bước 3: Xác định quãng đường xe ô tô đi được kể từ khi đạp phanh Hàm số vận tốc của xe sau khi đạp phanh là: \[ v(t) = -12t + 24 \text{ (m/s)} \] Quãng đường xe đi được trong thời gian t kể từ khi đạp phanh là nguyên hàm của v(t): \[ s(t) = \int v(t) \, dt = \int (-12t + 24) \, dt = -6t^2 + 24t + C \] Do s(0) = 0 (khi t = 0, xe chưa di chuyển), ta có: \[ C = 0 \] Vậy: \[ s(t) = -6t^2 + 24t \] Bước 4: Xác định thời gian xe dừng hẳn Xe dừng hẳn khi vận tốc bằng 0: \[ -12t + 24 = 0 \implies t = 2 \text{ s} \] Bước 5: Tính tổng quãng đường xe đi được từ khi phát hiện chướng ngại vật đến khi dừng hẳn Tổng quãng đường xe đi được từ khi phát hiện chướng ngại vật đến khi dừng hẳn là: \[ s_{tổng} = s_{phản ứng} + s(2) = 20 + (-6 \times 2^2 + 24 \times 2) = 20 + (-24 + 48) = 20 + 24 = 44 \text{ m} \] Kết luận Quãng đường xe ô tô đi được từ khi phát hiện chướng ngại vật đến khi dừng hẳn là 44 m, nhỏ hơn 45 m nên xe không va vào chướng ngại vật. Đáp án đúng là: d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần của câu hỏi và xác định xem các xác suất đã cho có đúng hay không. Phần a) $P(X) = 1,5 \times 10^{-5}$ Giải thích: - Tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 1,5 con trên 100000 con. - Do đó, xác suất một con bò bị bệnh bò điên là $\frac{1,5}{100000} = 1,5 \times 10^{-5}$. Phần b) $P(Y/X) = 0,6$ Giải thích: - Khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm là 60%. - Do đó, $P(Y/X) = 0,6$. Phần c) $P(Y/\overline{X}) = 0,2$ Giải thích: - Khi con bò không bị bệnh thì xác suất để xảy ra phản ứng dương tính trong xét nghiệm đó là 20%. - Do đó, $P(Y/\overline{X}) = 0,2$. Phần d) $P(Y \cap X) = P(X) \times P(Y/X)$ Giải thích: - Xác suất một con bò bị bệnh bò điên và phản ứng dương tính trong xét nghiệm là $P(Y \cap X)$. - Theo công thức xác suất điều kiện, $P(Y \cap X) = P(X) \times P(Y/X)$. - Thay các giá trị đã biết vào, ta có: \[ P(Y \cap X) = 1,5 \times 10^{-5} \times 0,6 = 9 \times 10^{-6} \] Do đó, các xác suất đã cho trong câu hỏi là: $a)~P(X)=1,5 \times 10^{-5}.$ $b)~P(Y/X)=0,6.$ $c)~P(Y/\overline{X})=0,2.$ $d)~P(Y \cap X)=9 \times 10^{-6}.$