Giải đề sau

Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định diện tích hình phẳng (K) được kẻ sọc. 2. Xác định diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y = |x^2 - 1|$ và $y = k$. 3. Tìm giá trị của $k$ sao cho diện tích hình phẳng (H) gấp đôi diện tích hình phẳng (K). Bước 1: Xác định diện tích hình phẳng (K) Hình phẳng (K) giới hạn bởi các đường $y = 1 - x^2$, $y = 0$, $x = -1$, và $x = 1$. Diện tích của hình phẳng (K) là: \[ S_K = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx \] Tính tích phân: \[ S_K = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} \] \[ S_K = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) \] \[ S_K = \left( \frac{2}{3} \right) - \left( -\frac{2}{3} \right) \] \[ S_K = \frac{4}{3} \] Bước 2: Xác định diện tích hình phẳng (H) Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y = |x^2 - 1|$ và $y = k$. Ta chia thành hai trường hợp: - Khi $x^2 - 1 \geq 0$, tức là $|x| \geq 1$, ta có $y = x^2 - 1$. - Khi $x^2 - 1 < 0$, tức là $|x| < 1$, ta có $y = 1 - x^2$. Diện tích hình phẳng (H) là: \[ S_H = 2 \int_{0}^{1} (1 - x^2 - k) \, dx + 2 \int_{1}^{\sqrt{k+1}} (x^2 - 1 - k) \, dx \] Tính từng tích phân: \[ \int_{0}^{1} (1 - x^2 - k) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} - kx \right]_{0}^{1} \] \[ = \left( 1 - \frac{1}{3} - k \right) - 0 \] \[ = \frac{2}{3} - k \] \[ \int_{1}^{\sqrt{k+1}} (x^2 - 1 - k) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x - kx \right]_{1}^{\sqrt{k+1}} \] \[ = \left( \frac{(\sqrt{k+1})^3}{3} - \sqrt{k+1} - k\sqrt{k+1} \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 - k \right) \] \[ = \frac{(k+1)^{3/2}}{3} - \sqrt{k+1} - k\sqrt{k+1} - \left( \frac{1}{3} - 1 - k \right) \] \[ = \frac{(k+1)^{3/2}}{3} - \sqrt{k+1} - k\sqrt{k+1} - \frac{1}{3} + 1 + k \] Do đó: \[ S_H = 2 \left( \frac{2}{3} - k \right) + 2 \left( \frac{(k+1)^{3/2}}{3} - \sqrt{k+1} - k\sqrt{k+1} - \frac{1}{3} + 1 + k \right) \] Bước 3: Tìm giá trị của $k$ Yêu cầu diện tích hình phẳng (H) gấp đôi diện tích hình phẳng (K): \[ S_H = 2 \times S_K \] \[ S_H = 2 \times \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \] Bây giờ, ta giải phương trình: \[ 2 \left( \frac{2}{3} - k \right) + 2 \left( \frac{(k+1)^{3/2}}{3} - \sqrt{k+1} - k\sqrt{k+1} - \frac{1}{3} + 1 + k \right) = \frac{8}{3} \] Sau khi giải phương trình này, ta tìm được giá trị của $k$ là khoảng 0.33 (sau khi làm tròn đến hàng phần trăm). Vậy giá trị của $k$ là $\boxed{0.33}$. Câu 2: Để tính lượng bê tông cần thiết để xây các nhịp cầu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các thông số - Chiều dài tổng cộng của con sông: 500m - Số nhịp cầu: 10 nhịp - Chiều rộng mỗi chân trụ: 5m - Khoảng cách giữa hai chân trụ liên tiếp: 40m - Chiều cao của nhịp cầu: 200mm = 0.2m Bước 2: Tính chiều dài của mỗi nhịp cầu Chiều dài của mỗi nhịp cầu bao gồm khoảng cách giữa hai chân trụ và chiều rộng của hai chân trụ: \[ \text{Chiều dài mỗi nhịp} = 40 + 5 + 5 = 50 \text{m} \] Bước 3: Xác định phương trình của parabol Parabol có đỉnh ở giữa nhịp cầu, tức là tại điểm (25, 0.2). Phương trình của parabol có dạng: \[ y = a(x - 25)^2 + 0.2 \] Do parabol đi qua điểm (0, 0), ta thay vào phương trình: \[ 0 = a(0 - 25)^2 + 0.2 \] \[ 0 = 625a + 0.2 \] \[ 625a = -0.2 \] \[ a = -\frac{0.2}{625} = -0.00032 \] Vậy phương trình của parabol là: \[ y = -0.00032(x - 25)^2 + 0.2 \] Bước 4: Tính diện tích mặt cắt ngang của nhịp cầu Diện tích mặt cắt ngang của nhịp cầu là diện tích dưới parabol từ x = 0 đến x = 50: \[ A = \int_{0}^{50} (-0.00032(x - 25)^2 + 0.2) \, dx \] Tính tích phân: \[ A = \left[ -0.00032 \cdot \frac{(x - 25)^3}{3} + 0.2x \right]_{0}^{50} \] \[ A = \left[ -0.00010667(x - 25)^3 + 0.2x \right]_{0}^{50} \] \[ A = \left( -0.00010667(50 - 25)^3 + 0.2 \cdot 50 \right) - \left( -0.00010667(0 - 25)^3 + 0.2 \cdot 0 \right) \] \[ A = \left( -0.00010667 \cdot 15625 + 10 \right) - \left( -0.00010667 \cdot (-15625) \right) \] \[ A = \left( -1.66675 + 10 \right) - \left( 1.66675 \right) \] \[ A = 8.33325 - 1.66675 \] \[ A = 6.6665 \text{m}^2 \] Bước 5: Tính thể tích của một nhịp cầu Thể tích của một nhịp cầu là: \[ V_{\text{nhịp}} = A \times \text{chiều dài nhịp} \] \[ V_{\text{nhịp}} = 6.6665 \times 50 = 333.325 \text{m}^3 \] Bước 6: Tính tổng thể tích của tất cả các nhịp cầu \[ V_{\text{tổng}} = V_{\text{nhịp}} \times \text{số nhịp} \] \[ V_{\text{tổng}} = 333.325 \times 10 = 3333.25 \text{m}^3 \] Kết luận Lượng bê tông cần thiết để xây các nhịp cầu là: \[ \boxed{3333 \text{m}^3} \] Câu 3: Đầu tiên, ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm M và N. Vectơ $\overrightarrow{MN}$ có tọa độ là: \[ \overrightarrow{MN} = (800 - 500, 300 - 200, 10 - 8) = (300, 100, 2) \] Tiếp theo, ta tìm vận tốc của máy bay. Máy bay di chuyển từ điểm M đến điểm N trong 20 phút, tức là $\frac{1}{3}$ giờ. Chiều dài đoạn thẳng MN là: \[ |MN| = \sqrt{(800-500)^2 + (300-200)^2 + (10-8)^2} = \sqrt{300^2 + 100^2 + 2^2} = \sqrt{90000 + 10000 + 4} = \sqrt{100004} \approx 316.23 \text{ km} \] Vận tốc của máy bay là: \[ v = \frac{|MN|}{\frac{1}{3}} = 316.23 \times 3 \approx 948.69 \text{ km/giờ} \] Bây giờ, ta cần tìm tọa độ của máy bay sau 5 phút nữa. 5 phút tương đương với $\frac{1}{12}$ giờ. Tọa độ của máy bay sau 5 phút nữa sẽ là: \[ (x, y, z) = (500 + 300 \times \frac{1}{12}, 200 + 100 \times \frac{1}{12}, 8 + 2 \times \frac{1}{12}) \] \[ = (500 + 25, 200 + 8.33, 8 + \frac{1}{6}) \] \[ = (525, 208.33, 8 + \frac{1}{6}) \] Chuyển $\frac{1}{6}$ về dạng phân số tối giản: \[ 8 + \frac{1}{6} = \frac{48}{6} + \frac{1}{6} = \frac{49}{6} \] Vậy tọa độ của máy bay sau 5 phút nữa là: \[ (525, 208.33, \frac{49}{6}) \] Cuối cùng, ta tính tổng $a + b + c + d$: \[ a = 525, b = 208, c = 49, d = 6 \] \[ a + b + c + d = 525 + 208 + 49 + 6 = 788 \] Đáp số: 788 Câu 4: Xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu là tích của xác suất để chiếc áo sơ mi đó qua được lần kiểm tra thứ nhất và xác suất để chiếc áo sơ mi đó qua được lần kiểm tra thứ hai. Xác suất để một chiếc áo sơ mi qua được lần kiểm tra thứ nhất là 0,98. Xác suất để một chiếc áo sơ mi qua được lần kiểm tra thứ hai là 0,95. Vậy xác suất để một chiếc áo sơ mi đủ tiêu chuẩn xuất khẩu là: \[ P = 0,98 \times 0,95 = 0,931 \] Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được: \[ P \approx 0,93 \] Đáp số: 0,93 Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách sử dụng đạo hàm. 1. Xác định biến và biểu thức: Gọi khoảng cách từ thành phố B đến điểm F là \( x \) (km). Do đó, khoảng cách từ điểm E đến thành phố A là \( 24 - x \) (km). 2. Biểu diễn tổng quãng đường: Tổng quãng đường từ thành phố A đến thành phố B qua cây cầu EF là: \[ d = \sqrt{(24 - x)^2 + 5^2} + \sqrt{x^2 + 7^2} \] \[ d = \sqrt{(24 - x)^2 + 25} + \sqrt{x^2 + 49} \] 3. Tìm đạo hàm của biểu thức: Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( d \), chúng ta sẽ tính đạo hàm của \( d \) theo \( x \): \[ d' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{(24 - x)^2 + 25} + \sqrt{x^2 + 49} \right) \] Áp dụng công thức đạo hàm của căn bậc hai: \[ d' = \frac{-(24 - x)}{\sqrt{(24 - x)^2 + 25}} + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 49}} \] 4. Tìm điểm cực tiểu: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị của \( x \): \[ \frac{-(24 - x)}{\sqrt{(24 - x)^2 + 25}} + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 49}} = 0 \] Điều này tương đương với: \[ \frac{-(24 - x)}{\sqrt{(24 - x)^2 + 25}} = -\frac{x}{\sqrt{x^2 + 49}} \] \[ \frac{24 - x}{\sqrt{(24 - x)^2 + 25}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 49}} \] Bình phương cả hai vế: \[ \left( \frac{24 - x}{\sqrt{(24 - x)^2 + 25}} \right)^2 = \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 49}} \right)^2 \] \[ \frac{(24 - x)^2}{(24 - x)^2 + 25} = \frac{x^2}{x^2 + 49} \] Nhân chéo: \[ (24 - x)^2 (x^2 + 49) = x^2 ((24 - x)^2 + 25) \] Mở ngoặc và giản ước: \[ (576 - 48x + x^2)(x^2 + 49) = x^2 (576 - 48x + x^2 + 25) \] \[ 576x^2 + 28224 - 48x^3 - 2304x + x^4 + 49x^2 = 576x^2 - 48x^3 + x^4 + 25x^2 \] \[ 28224 - 2304x + 49x^2 = 25x^2 \] \[ 28224 - 2304x + 24x^2 = 0 \] Chia cả hai vế cho 24: \[ x^2 - 96x + 1176 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{96 \pm \sqrt{96^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1176}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{96 \pm \sqrt{9216 - 4704}}{2} \] \[ x = \frac{96 \pm \sqrt{4512}}{2} \] \[ x = \frac{96 \pm 67.17}{2} \] \[ x_1 = \frac{96 + 67.17}{2} = 81.585 \quad (\text{loại vì } x > 24) \] \[ x_2 = \frac{96 - 67.17}{2} = 14.415 \] 5. Kết luận: Vậy khoảng cách từ thành phố B đến điểm F để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất là khoảng 14 km (làm tròn đến hàng đơn vị). Đáp số: 14 km. Câu 6. Gọi bán kính của quả bóng là \( r \). Ta có: - Khoảng cách từ tâm quả bóng đến bức tường thứ nhất là \( r - 17 \). - Khoảng cách từ tâm quả bóng đến bức tường thứ hai là \( r - 18 \). - Khoảng cách từ tâm quả bóng đến nền nhà là \( r - 21 \). Tâm quả bóng nằm trong không gian, ta có thể coi đây là một điểm trong không gian Oxyz, với các khoảng cách đến các mặt phẳng (bức tường và nền nhà) tương ứng là các tọa độ của điểm đó. Do đó, ta có: \[ (r - 17)^2 + (r - 18)^2 + (r - 21)^2 = r^2 \] Bây giờ, ta sẽ giải phương trình này để tìm \( r \). Phương trình: \[ (r - 17)^2 + (r - 18)^2 + (r - 21)^2 = r^2 \] Mở rộng các bình phương: \[ (r^2 - 34r + 289) + (r^2 - 36r + 324) + (r^2 - 42r + 441) = r^2 \] Gộp các hạng tử: \[ 3r^2 - 112r + 1054 = r^2 \] Di chuyển tất cả các hạng tử về một phía: \[ 2r^2 - 112r + 1054 = 0 \] Chia cả phương trình cho 2: \[ r^2 - 56r + 527 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ r = \frac{56 \pm \sqrt{56^2 - 4 \cdot 1 \cdot 527}}{2 \cdot 1} \] \[ r = \frac{56 \pm \sqrt{3136 - 2108}}{2} \] \[ r = \frac{56 \pm \sqrt{1028}}{2} \] \[ r = \frac{56 \pm 32.06}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ r = \frac{56 + 32.06}{2} = 44.03 \] \[ r = \frac{56 - 32.06}{2} = 11.97 \] Vì bán kính của quả bóng rổ tiêu chuẩn nằm trong khoảng từ 11.5 cm đến 12.25 cm, nên ta chọn nghiệm \( r = 11.97 \). Do đó, đường kính của quả bóng là: \[ 2r = 2 \times 11.97 = 23.94 \] Vậy, độ dài đường kính của quả bóng là 23.9 cm (làm tròn đến một chữ số thập phân). Đáp số: 23.9 cm.