Giúp mình với! Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Trên đoạn OB lấy diểm A qua vv ddyyCD,B1,vuông góc với As. Gọi I là trugg điểm của AC, đường thẳng Of cắt tiếp tuyến tại A:,(O) tại 8. Chứng minh:,a) Bốn đỉnh của tứ giác CICM cùng nằm trên một đường tròn.,b) EClì tiếp tuyến của đường tròn (O)..

Question

Giúp mình với! Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Trên đoạn OB lấy diểm A   qua   vv ddyyCD,B1,vuông góc với As. Gọi I là trugg điểm của AC, đường thẳng Of cắt tiếp tuyến tại A:,(O) tại 8. Chứng minh:,a) Bốn đỉnh của tứ giác CICM cùng nằm trên một đường tròn.,b) EClì tiếp tuyến của đường tròn (O)..

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

a) Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác CICM cùng nằm trên một đường tròn.

1. Xác định các điểm và đường thẳng:
   - Đường tròn tâm O có đường kính AB.
   - Điểm C nằm trên đoạn OB.
   - Đường thẳng CD vuông góc với AB tại D.
   - I là trung điểm của AC.
   - Đường thẳng OF cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại B.

2. Chứng minh tứ giác CICM nội tiếp:
   - Ta cần chứng minh rằng tổng của hai góc đối diện của tứ giác CICM bằng 180°.
   - Xét góc $\angle CMI$: Vì OF là tiếp tuyến tại A và OF cắt đường tròn tại B, nên $\angle OAB = 90^\circ$. Do đó, $\angle CMI = 90^\circ$ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính).
   - Xét góc $\angle CCI$: Vì I là trung điểm của AC, nên $\angle CCI = \angle CAI$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
   - Xét góc $\angle CIM$: Vì OF là tiếp tuyến tại A và OF cắt đường tròn tại B, nên $\angle OAB = 90^\circ$. Do đó, $\angle CIM = 90^\circ$ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính).

3. Tổng các góc đối diện:
   - Tổng của hai góc đối diện của tứ giác CICM là:
     $$
     \angle CMI + \angle CCI = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
     $$
   - Vậy bốn đỉnh của tứ giác CICM cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh EC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

1. Xác định các điểm và đường thẳng:
   - Điểm C nằm trên đoạn OB.
   - Đường thẳng CD vuông góc với AB tại D.
   - I là trung điểm của AC.
   - Đường thẳng OF cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại B.

2. Chứng minh EC là tiếp tuyến của đường tròn (O):
   - Ta cần chứng minh rằng đường thẳng EC vuông góc với bán kính OC tại điểm C.
   - Vì OF là tiếp tuyến tại A và OF cắt đường tròn tại B, nên $\angle OAB = 90^\circ$.
   - Vì I là trung điểm của AC, nên $\angle CAI = \angle CCI$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
   - Vì OF là tiếp tuyến tại A và OF cắt đường tròn tại B, nên $\angle OAB = 90^\circ$. Do đó, $\angle CMI = 90^\circ$ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính).

3. Chứng minh EC vuông góc với OC:
   - Vì $\angle CMI = 90^\circ$, nên đường thẳng EC vuông góc với bán kính OC tại điểm C.
   - Vậy EC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Kết luận:
- a) Bốn đỉnh của tứ giác CICM cùng nằm trên một đường tròn.
- b) EC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Thiên Hạo (天昊) · Answer

a) Xét tứ giác $CIOM$ có:

$\widehat{CIO} = 90^\circ$ (do $I$ là trung điểm của $AC$ nên $OI \perp AC$)

$\widehat{CMO} = 90^\circ$ (do $CD \perp AB$ tại $M$)

$\Rightarrow \widehat{CIO} + \widehat{CMO} = 180^\circ$

Vậy tứ giác $CIOM$ nội tiếp đường tròn, hay bốn điểm $C,I,O,M$ cùng nằm trên một đường tròn.

b) Gọi $K$ là giao điểm của $OI$ và $(O)$.

Ta có: $OI \perp AC$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \widehat{AIC} = 90^\circ$

Mà $S$ là tiếp điểm của tiếp tuyến tại $S$ của $(O)$, nên $\widehat{ASO} = 90^\circ$

Xét tứ giác $ASIC$ có $\widehat{AIC} = \widehat{ASC} = 90^\circ$ nên tứ giác $ASIC$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{ASI} = \widehat{ACI}$ (cùng chắn cung $AI$)

Lại có $\widehat{ABI} = \widehat{ACI}$ (cùng chắn cung $AI$ của $(O)$)

Suy ra $\widehat{ASI} = \widehat{ABI}$

$\Rightarrow \widehat{ASC} = \widehat{ABC}$

$\Rightarrow$ $BC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $S$.

Vậy $BC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.