giupppppppp vs ạ

Câu 1: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f(x) = 4 \sin x \cos x + 2x \] Ta biết rằng \(4 \sin x \cos x = 2 \sin 2x\), do đó: \[ f(x) = 2 \sin 2x + 2x \] Đạo hàm của \(f(x)\): \[ f'(x) = 2 \cdot 2 \cos 2x + 2 = 4 \cos 2x + 2 \] 2. Xác định các điểm cực trị: Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \(f'(x) = 0\): \[ 4 \cos 2x + 2 = 0 \implies \cos 2x = -\frac{1}{2} \] Các nghiệm của phương trình \(\cos 2x = -\frac{1}{2}\) trong khoảng \([-π, π]\) là: \[ 2x = \pm \frac{2π}{3} + k \cdot 2π \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Do đó: \[ x = \pm \frac{π}{3} + k \cdot π \] Trong khoảng \([-π, π]\), các giá trị của \(x\) là: \[ x = -\frac{π}{3}, \frac{π}{3}, -\frac{2π}{3}, \frac{2π}{3} \] Vậy hàm số có 4 điểm cực trị trong khoảng \([-π, π]\). 3. Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến: Ta xét dấu của đạo hàm \(f'(x) = 4 \cos 2x + 2\): - \(f'(x) > 0\) khi \(\cos 2x > -\frac{1}{2}\) - \(f'(x) < 0\) khi \(\cos 2x < -\frac{1}{2}\) Trên khoảng \([-π, π]\), ta có: - \(f'(x) > 0\) trên các khoảng \((-π, -\frac{2π}{3})\), \((-\frac{π}{3}, \frac{π}{3})\), \((\frac{2π}{3}, π)\) - \(f'(x) < 0\) trên các khoảng \((-\frac{2π}{3}, -\frac{π}{3})\), \((\frac{π}{3}, \frac{2π}{3})\) Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\frac{2π}{3}, -\frac{π}{3})\) và \((\frac{π}{3}, \frac{2π}{3})\). 4. Tìm giá trị lớn nhất của \(f(x)\) trên đoạn \([0, \frac{π}{2}]\): Ta tính giá trị của \(f(x)\) tại các điểm biên và các điểm cực trị trong đoạn \([0, \frac{π}{2}]\): - \(f(0) = 2 \sin 0 + 2 \cdot 0 = 0\) - \(f(\frac{π}{2}) = 2 \sin π + 2 \cdot \frac{π}{2} = π\) - \(f(\frac{π}{3}) = 2 \sin \frac{2π}{3} + 2 \cdot \frac{π}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2π}{3} = \sqrt{3} + \frac{2π}{3}\) So sánh các giá trị: \[ 0 < \sqrt{3} + \frac{2π}{3} < π \] Vậy giá trị lớn nhất của \(f(x)\) trên đoạn \([0, \frac{π}{2}]\) là \(\sqrt{3} + \frac{2π}{3}\). Kết luận: - Đạo hàm của hàm số là \(f'(x) = 4 \cos 2x + 2\). - Hàm số có 4 điểm cực trị trong khoảng \([-π, π]\). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\frac{2π}{3}, -\frac{π}{3})\) và \((\frac{π}{3}, \frac{2π}{3})\). - Giá trị lớn nhất của \(f(x)\) trên đoạn \([0, \frac{π}{2}]\) là \(\sqrt{3} + \frac{2π}{3}\).